Zgomot alb | Li Linguas

Vector de zgomot albEdit

Un vector aleator (adică un proces parțial nedeterminat care produce vectori de numere reale) se spune că este un vector de zgomot alb sau un vector aleator alb dacă fiecare dintre componentele sale are o distribuție de probabilitate cu medie zero și varianță finită și este independent din punct de vedere statistic: adică distribuția lor comună de probabilitate trebuie să fie produsul distribuțiilor componentelor individuale.

O condiție necesară (dar, în general, nu suficientă) pentru independența statistică a două variabile este ca acestea să fie necorelate statistic; adică, covarianța lor să fie zero. Prin urmare, matricea de covarianță R a componentelor unui vector de zgomot alb w cu n elemente trebuie să fie o matrice diagonală n cu n, unde fiecare element diagonal Rii este varianța componentei wi; iar matricea de corelație trebuie să fie matricea identitate n cu n.

Dacă, pe lângă faptul că este independentă, fiecare variabilă din w are, de asemenea, o distribuție normală cu media zero și aceeași varianță σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}.

, se spune că w este un vector de zgomot alb gaussian. În acest caz, distribuția comună a lui w este o distribuție normală multivariată; independența dintre variabile implică atunci faptul că distribuția are simetrie sferică în spațiul n-dimensional. Prin urmare, orice transformare ortogonală a vectorului va avea ca rezultat un vector aleator alb gaussian. În special, sub majoritatea tipurilor de transformată Fourier discretă, cum ar fi FFT și Hartley, transformarea W a lui w va fi, de asemenea, un vector de zgomot alb gaussian; adică, cei n coeficienți Fourier ai lui w vor fi variabile gaussiene independente cu media zero și aceeași varianță σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}.

Spectrul de putere P al unui vector aleator w poate fi definit ca fiind valoarea așteptată a modulului pătratic al fiecărui coeficient al transformatei sale Fourier W, adică Pi = E(|Wi|2). Conform acestei definiții, un vector de zgomot alb gaussian va avea un spectru de putere perfect plat, cu Pi = σ2 pentru toți i.

Dacă w este un vector aleator alb, dar nu unul gaussian, coeficienții săi Fourier Wi nu vor fi complet independenți unul față de celălalt; deși pentru n mare și pentru distribuții de probabilitate comune dependențele sunt foarte subtile, iar corelațiile lor pe perechi pot fi presupuse ca fiind zero.

De multe ori, în definiția zgomotului alb se folosește condiția mai slabă „necorelat statistic”, în loc de „independent statistic”. Cu toate acestea, este posibil ca unele dintre proprietățile așteptate în mod obișnuit ale zgomotului alb (cum ar fi spectrul de putere plat) să nu fie valabile pentru această versiune mai slabă. În această ipoteză, versiunea mai strictă poate fi menționată în mod explicit ca vector de zgomot alb independent. p.60 Alți autori folosesc în schimb puternic alb și slab alb.

Un exemplu de vector aleator care este „zgomot alb gaussian” în sens slab, dar nu și în sens puternic este x= unde x1 este o variabilă aleatoare normală cu media zero, iar x2 este egal cu +x1 sau cu -x1, cu probabilitate egală. Aceste două variabile nu sunt corelate și sunt distribuite individual în mod normal, dar nu sunt distribuite împreună în mod normal și nu sunt independente. Dacă x este rotit cu 45 de grade, cele două componente ale sale vor fi în continuare necorelate, dar distribuția lor nu va mai fi normală.

În unele situații se poate relaxa definiția permițând ca fiecare componentă a unui vector aleator alb w să aibă valoarea așteptată diferită de zero μ {\displaystyle \mu }

. În special în prelucrarea imaginilor, unde eșantioanele sunt de obicei restricționate la valori pozitive, se ia adesea μ {\displaystyle \mu }

ca fiind jumătate din valoarea maximă a eșantionului. În acest caz, coeficientul Fourier W0 corespunzător componentei de frecvență zero (în esență, media lui wi) va avea, de asemenea, o valoare așteptată diferită de zero μ n {\displaystyle \mu {\sqrt {n}}}

; iar spectrul de putere P va fi plat numai pentru frecvențele diferite de zero.

Zgomot alb cu timp discretEdit

Un proces stocastic cu timp discret W {\displaystyle W}

este o generalizare a vectorilor aleatori cu un număr finit de componente la un număr infinit de componente. Un proces stocastic cu timp discret W {\displaystyle W}

se numește zgomot alb dacă media sa nu depinde de timpul n {\displaystyle n}

și este egală cu zero, adică E ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} ]=0}

și dacă funcția de autocorelație R W = E W ] {\displaystyle R_{W}=\operatorname {E} W]}

depinde numai de n {\displaystyle n}

dar nu și de k {\displaystyle k}

și are o valoare diferită de zero numai pentru n = 0 {\displaystyle n=0}

, adică R W = σ 2 δ {\displaystyle R_{W}=\sigma ^{2}\delta }

Zgomot alb în timp continuuEdit

Pentru a defini noțiunea de „zgomot alb” în teoria semnalelor în timp continuu, trebuie să înlocuim conceptul de „vector aleator” cu cel de semnal aleator în timp continuu; adică un proces aleator care generează o funcție w {\displaystyle w}

a unui parametru cu valoare reală t {\displaystyle t}

Un astfel de proces se spune că este zgomot alb în cel mai puternic sens dacă valoarea w ( t ) {\displaystyle w(t)}

pentru orice timp t {\displaystyle t}

este o variabilă aleatoare care este statistic independentă de întreaga sa istorie înainte de t {\displaystyle t}

. O definiție mai slabă impune independența doar între valorile w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

și w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

la fiecare pereche de momente distincte t 1 {\displaystyle t_{1}}

și t 2 {\displaystyle t_{2}}

. O definiție și mai slabă cere doar ca astfel de perechi w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

și w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

să fie necorelate. Ca și în cazul discret, unii autori adoptă definiția mai slabă pentru „zgomot alb” și utilizează calificativul independent pentru a se referi la oricare dintre definițiile mai puternice. Alții folosesc slab alb și puternic alb pentru a face distincția între ele.

Cu toate acestea, o definiție precisă a acestor concepte nu este trivială, deoarece unele cantități care sunt sume finite în cazul discret finit trebuie să fie înlocuite cu integrale care pot să nu converge. Într-adevăr, ansamblul tuturor instanțelor posibile ale unui semnal w {\displaystyle w}

nu mai este un spațiu finit-dimensional R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}}.

, ci un spațiu funcțional infinit-dimensional. Mai mult, prin orice definiție, un semnal de zgomot alb w {\displaystyle w}

ar trebui să fie în esență discontinuu în fiecare punct; prin urmare, chiar și cele mai simple operații asupra lui w {\displaystyle w}

, cum ar fi integrarea pe un interval finit, necesită un mecanism matematic avansat.

Câțiva autori cer ca fiecare valoare w ( t ) {\displaystyle w(t)}

să fie o variabilă aleatoare cu valori reale, cu speranța μ {\displaystyle \mu }

și o anumită varianță finită σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}.

. Atunci covarianța E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

între valorile de la două momente t 1 {\displaystyle t_{1}}

și t 2 {\displaystyle t_{2}}

este bine definită: este zero dacă momentele sunt distincte, iar σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

dacă acestea sunt egale. Totuși, prin această definiție, integrala W = ∫ a a a + r w ( t ) d t {\displaystyle W_{}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt}

pe orice interval cu lățimea pozitivă r {\displaystyle r}

ar fi pur și simplu lățimea înmulțită cu așteptarea: r μ {\displaystyle r\mu }

. Această proprietate ar face ca acest concept să fie inadecvat ca model al semnalelor fizice de „zgomot alb”.

De aceea, majoritatea autorilor definesc semnalul w {\displaystyle w}

indirect, prin specificarea unor valori non-zero pentru integralele lui w ( t ) {\displaystyle w(t)}

și | w ( t ) | 2 {\displaystyle |w(t)|^{2}}

pe orice interval {\displaystyle }

, în funcție de lățimea sa r {\displaystyle r}

. Cu toate acestea, în această abordare, valoarea lui w ( t ) {\displaystyle w(t)}

la un moment izolat nu poate fi definită ca o variabilă aleatoare cu valori reale. De asemenea, covarianța E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

devine infinită atunci când t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}}}