Logică simbolică
Michael Genesereth
Computer Science Department
Stanford University
Deși este posibil să se predea Logica folosind doar limba engleză, acest lucru este problematic. Propozițiile din limbajul natural pot fi complexe; ele pot fi ambigue; iar neînțelegerea sensului unei propoziții poate duce la erori de raționament.
Chiar și propozițiile foarte simple pot fi problematice. Aici vedem două propoziții legale din punct de vedere gramatical. Ele sunt identice în toate, cu excepția ultimului cuvânt, dar structura lor este complet diferită. În prima, verbul principal este blossoms, în timp ce în cea de-a doua blossoms este un substantiv, iar verbul principal este sank.
The cherry blossoms in the Spring.
The cherry blossoms in the Spring sank.
Ca un alt exemplu de complexitate gramaticală, luați în considerare următorul fragment extras din contractul de închiriere al Universității din Michigan. Propoziția din acest caz este suficient de lungă și structura gramaticală suficient de complexă încât oamenii trebuie adesea să o citească de mai multe ori pentru a înțelege exact ceea ce spune.
Universitatea poate rezilia acest contract de închiriere atunci când chiriașul, după ce a depus cererea și a semnat acest contract de închiriere înainte de înscriere, nu este eligibil să se înscrie sau nu se înscrie la universitate sau părăsește universitatea în orice moment înainte de expirarea acestui contract de închiriere, sau pentru încălcarea oricărei prevederi a acestui contract de închiriere, sau pentru încălcarea oricărui regulament al universității referitor la căminele de rezidențiat, sau din motive de sănătate, furnizând studentului o notificare scrisă cu privire la această reziliere cu 30 de zile înainte de datele efective ale rezilierii, cu excepția cazului în care viața, integritatea corporală sau bunurile ar fi puse în pericol, dacă locatarul se angajează în vânzarea sau cumpărarea de substanțe controlate, încălcând legislația federală, de stat sau locală, dacă locatarul nu mai este înscris ca student sau dacă locatarul se angajează în utilizarea sau deținerea de arme de foc, explozibili, lichide inflamabile, artificii sau alte arme periculoase în interiorul clădirii, sau dacă dă o alarmă falsă, cazuri în care este suficient un preaviz de maximum 24 de ore.
Ca un exemplu de ambiguitate, să presupunem că aș scrie propoziția Este o fată în cameră cu un telescop. Consultați figura 6 pentru două sensuri posibile ale acestei propoziții. Vreau să spun că există o fată într-o cameră care conține un telescop? Sau spun că există o fată în cameră și că aceasta are în mână un telescop?
Figura 6 – Există o fată în cameră cu un telescop.
Aceste complexități și ambiguități pot fi uneori amuzante dacă duc la interpretări pe care autorul nu le-a intenționat. A se vedea exemplele de mai jos pentru câteva titluri de ziar infame cu interpretări multiple. Utilizarea unui limbaj formal elimină astfel de ambiguități neintenționate (și, de bine, de rău, evită și orice umor neintenționat).
|
Crowds Rushing to See Pope Trample 6 to Death Journal Star, Peoria, 1980
|
||||
|
||||
|
||||
|
Puiul prăjit gătit în cuptorul cu microunde câștigă excursia The Oregonian, Portland, 1981
|
Ca o ilustrare a erorilor care apar în raționamentul cu propoziții în limbajul natural, luați în considerare următoarele exemple. În primul, folosim tranzitivitatea relației mai bine pentru a deriva o concluzie despre calitatea relativă a șampaniei și a sucului din calitatea relativă a șampaniei și a berii și calitatea relativă sau a berii și a sucului. Până aici totul este bine.
Champania este mai bună decât berea.
Berele sunt mai bune decât sifonul.
Prin urmare, șampania este mai bună decât sifonul.
Considerați acum ce se întâmplă când aplicăm aceeași regulă de tranzitivitate în cazul ilustrat mai jos. Forma argumentului este aceeași ca înainte, dar concluzia este ceva mai puțin credibilă. Problema în acest caz este că utilizarea lui nothing aici este sintactic similară cu utilizarea lui beer din exemplul precedent, dar în engleză înseamnă ceva cu totul diferit.
Sexul prost este mai bun decât nimic.
Nimic este mai bun decât sexul bun.
Prin urmare, sexul rău este mai bun decât sexul bun.
Logica simbolică elimină aceste dificultăți prin utilizarea unui limbaj formal pentru codificarea informațiilor. Având în vedere sintaxa și semantica acestui limbaj formal, putem da o definiție precisă pentru noțiunea de concluzie logică. Mai mult, putem stabili reguli precise de raționament care produc toate și numai concluzii logice.
În această privință, există o analogie puternică între metodele Logicii formale și cele ale algebrei de liceu. Pentru a ilustra această analogie, luați în considerare următoarea problemă de algebră.
Xavier este de trei ori mai bătrân decât Yolanda. Vârsta lui Xavier și vârsta Yolandei însumează 12 ani. Câți ani au Xavier și Yolanda?
În mod obișnuit, primul pas în rezolvarea unei astfel de probleme este de a exprima informația sub formă de ecuații. Dacă lăsăm ca x să reprezinte vârsta lui Xavier și y să reprezinte vârsta Yolandei, putem surprinde informațiile esențiale ale problemei, așa cum se arată mai jos.
x – 3y = 0
x + y = 12
Utilizând metodele algebrei, putem apoi manipula aceste expresii pentru a rezolva problema. Mai întâi scădem a doua ecuație din prima.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
În continuare, împărțim fiecare parte a ecuației rezultate la -4 pentru a obține o valoare pentru y. Apoi, înlocuind înapoi într-una din ecuațiile precedente, obținem o valoare pentru x.
x = 9
y = 3
Considerăm acum următoarea problemă de logică.
Dacă Mary îl iubește pe Pat, atunci Mary îl iubește pe Quincy. Dacă este luni și plouă, atunci Mary îl iubește pe Pat sau pe Quincy. Dacă este luni și plouă, îl iubește Mary pe Quincy?
Ca și în cazul problemei de algebră, primul pas este formalizarea. Fie ca p să reprezinte posibilitatea ca Mary să-l iubească pe Pat; fie ca q să reprezinte posibilitatea ca Mary să-l iubească pe Quincy; fie ca m să reprezinte posibilitatea că este luni; și fie ca r să reprezinte posibilitatea că plouă.
Cu aceste abrevieri, putem reprezenta informația esențială a acestei probleme cu următoarele propoziții logice. Prima spune că p implică q, adică dacă Mary îl iubește pe Pat, atunci Mary îl iubește pe Quincy. A doua spune că m și r implică p sau q, adică dacă este luni și plouă, atunci Mary îl iubește pe Pat sau Mary îl iubește pe Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
Ca și la Algebră, Logica formală definește anumite operații pe care le putem folosi pentru a manipula expresii. Operația prezentată mai jos este o variantă a ceea ce se numește rezoluție propozițională. Expresiile de deasupra liniei sunt premisele regulii, iar expresia de dedesubt este concluzia.
| p1 ∧ …. ∧ pk | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql |
| r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ …. ∨ sn |
| p1 ∧ … ∧ pk ∧ r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ …. ∨ ql ∨ s1 ∨ … ∨ sn |
Există două prelucrări ale acestei operații. (1) Dacă o propoziție din partea stângă a unei propoziții este aceeași cu o propoziție din partea dreaptă a celeilalte propoziții, este în regulă să se renunțe la cele două simboluri, cu mențiunea că se poate renunța la o singură astfel de pereche. (2) Dacă o constantă se repetă pe aceeași parte a unei singure propoziții, toate aparițiile, cu excepția uneia, pot fi șterse.
Potem folosi această operație pentru a rezolva problema vieții amoroase a lui Mary. Dacă ne uităm la cele două premise de mai sus, observăm că p apare în partea stângă a unei propoziții și în partea dreaptă a celeilalte. În consecință, putem anula p și astfel să obținem concluzia că, dacă este luni și plouă, atunci Mary îl iubește pe Quincy sau Mary îl iubește pe Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
După simbolul repetat în partea dreaptă, ajungem la concluzia că, dacă este luni și plouă, atunci Mary îl iubește pe Quincy.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Acest exemplu este interesant prin faptul că prezintă limbajul nostru formal de codificare a informațiilor logice. Ca și în cazul algebrei, folosim simboluri pentru a reprezenta aspecte relevante ale lumii în cauză și folosim operatori pentru a conecta aceste simboluri pentru a exprima informații despre lucrurile pe care le reprezintă acele simboluri.
Exemplul introduce, de asemenea, una dintre cele mai importante operații din Logica formală, și anume Rezoluția (în acest caz o formă restrânsă de Rezoluție). Rezoluția are proprietatea de a fi completă pentru o clasă importantă de probleme de logică, adică este singura operație necesară pentru a rezolva orice problemă din această clasă.
.