Infinit

Infiniturile matematice

Grecii antici exprimau infinitul prin cuvântul apeiron, care avea conotațiile de nemărginit, indefinit, nedefinit și fără formă. Una dintre primele apariții ale infinitului în matematică se referă la raportul dintre diagonala și latura unui pătrat. Pitagora (c. 580-500 î.Hr.) și adepții săi au crezut inițial că orice aspect al lumii poate fi exprimat printr-un aranjament care să implice doar numere întregi (0, 1, 2, 3,…), dar au fost surprinși să descopere că diagonala și latura unui pătrat sunt incomensurabile – adică lungimile lor nu pot fi ambele exprimate ca multipli de numere întregi ai unei unități comune (sau măsurători). În matematica modernă, această descoperire este exprimată prin afirmația că raportul este irațional și că este limita unei serii zecimale nesfârșite, care nu se repetă. În cazul unui pătrat cu laturile de lungime 1, diagonala este rădăcina pătrată a lui√2, scrisă ca 1,414213562…, unde elipsa (…) indică o secvență nesfârșită de cifre fără model.

Atât Platon (428/427-348/347 î.Hr.), cât și Aristotel (384-322 î.Hr.) împărtășeau repulsia generală a grecilor față de noțiunea de infinit. Aristotel a influențat gândirea ulterioară timp de mai bine de un mileniu prin respingerea infinitului „real” (spațial, temporal sau numeric), pe care îl distingea de infinitul „potențial” al capacității de a număra la nesfârșit. Pentru a evita utilizarea infinitului real, Eudoxus din Cnidus (c. 400-350 î.Hr.) și Arhimede (c. 285-212/211 î.Hr.) au dezvoltat o tehnică, cunoscută mai târziu sub numele de metoda epuizării, prin care o suprafață era calculată prin înjumătățirea unității de măsură în etape succesive, până când suprafața rămasă era sub o anumită valoare fixă (regiunea rămasă fiind „epuizată”).

Problema numerelor infinit de mici a dus la descoperirea calculului la sfârșitul anilor 1600 de către matematicianul englez Isaac Newton și matematicianul german Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton a introdus propria sa teorie a numerelor infinit de mici, sau infinitezimale, pentru a justifica calculul derivatelor, sau al pantelor. Pentru a găsi panta (adică variația lui y în raport cu variația lui x) pentru o dreaptă care atinge o curbă într-un punct dat (x, y), el a considerat că este util să analizeze raportul dintre dy și dx, unde dy este o variație infinitezimală a lui y produsă prin deplasarea unei cantități infinitezimale dx de la x. Infinitezimalele au fost puternic criticate, iar o mare parte din istoria timpurie a analizei s-a învârtit în jurul eforturilor de a găsi o bază alternativă și riguroasă pentru acest subiect. Utilizarea numerelor infinitezimale a căpătat în cele din urmă o bază solidă odată cu dezvoltarea analizei non-standard de către matematicianul de origine germană Abraham Robinson în anii 1960.

O utilizare mai directă a infinitului în matematică apare odată cu eforturile de a compara dimensiunile unor seturi infinite, cum ar fi setul de puncte de pe o dreaptă (numere reale) sau setul de numere de numărat. Matematicienii se lovesc rapid de faptul că intuițiile obișnuite despre numere sunt înșelătoare atunci când vorbesc despre mărimi infinite. Gânditorii medievali erau conștienți de faptul paradoxal că segmentele de dreaptă de diferite lungimi păreau să aibă același număr de puncte. De exemplu, desenați două cercuri concentrice, unul cu raza (și, prin urmare, circumferința) de două ori mai mare decât celălalt, așa cum se arată în figură. În mod surprinzător, fiecare punct P de pe cercul exterior poate fi împerecheat cu un punct unic P′ de pe cercul interior prin trasarea unei linii de la centrul lor comun O la P și etichetarea intersecției sale cu cercul interior P′. Intuiția sugerează că cercul exterior ar trebui să aibă de două ori mai multe puncte decât cercul interior, dar în acest caz infinitul pare să fie același lucru cu de două ori infinitul. La începutul anilor 1600, omul de știință italian Galileo Galilei a abordat acest aspect și un rezultat neintuitiv similar, cunoscut în prezent sub numele de paradoxul lui Galileo. Galileo a demonstrat că setul numerelor de numărat poate fi pus într-o corespondență biunivocă cu setul aparent mult mai mic de pătrate ale acestora. În mod similar, el a demonstrat că setul numerelor de numărat și dublurile lor (adică setul numerelor pare) pot fi puse în corespondență. Galileo a concluzionat că „nu putem vorbi de cantități infinite ca fiind una mai mare sau mai mică decât sau egală cu alta”. Astfel de exemple l-au determinat pe matematicianul german Richard Dedekind, în 1872, să sugereze o definiție a unui set infinit ca fiind unul care poate fi pus într-o relație de unu la unu cu un subset propriu-zis.

Confuzia cu privire la numerele infinite a fost rezolvată de matematicianul german Georg Cantor începând cu anul 1873. Mai întâi, Cantor a demonstrat în mod riguros că setul numerelor raționale (fracții) are aceeași dimensiune ca și numerele de numărat; de aceea, acestea sunt numite numărabile sau denumerabile. Desigur, acest lucru nu a fost un adevărat șoc, dar mai târziu, în același an, Cantor a demonstrat rezultatul surprinzător că nu toate infinitele sunt egale. Folosind un așa-numit „argument diagonal”, Cantor a demonstrat că dimensiunea numerelor de numărat este strict mai mică decât dimensiunea numerelor reale. Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema lui Cantor.

Pentru a compara seturi, Cantor a făcut mai întâi distincția între un set specific și noțiunea abstractă a mărimii sale, sau cardinalitate. Spre deosebire de un set finit, un set infinit poate avea aceeași cardinalitate ca un subansamblu propriu-zis al său. Cantor a folosit un argument diagonal pentru a demonstra că cardinalitatea oricărui set trebuie să fie mai mică decât cardinalitatea setului său de putere – adică setul care conține toate subansamblurile posibile ale setului dat. În general, un set cu n elemente are un set de putere cu 2n elemente, iar aceste două cardinalități sunt diferite chiar și atunci când n este infinit. Cantor a numit mărimile seturilor sale infinite „cardinale transfinite”. Argumentele sale au arătat că există cardinale transfinite de un număr infinit de mărimi diferite (cum ar fi cardinalele ansamblului numerelor de numărat și ale ansamblului numerelor reale).

Cardinalele transfinite includ aleph-null (mărimea ansamblului numerelor întregi), aleph-one (următorul infinit mai mare) și continuum (mărimea numerelor reale). Aceste trei numere sunt, de asemenea, scrise ca ℵ0, ℵ1 și, respectiv, c. Prin definiție, ℵ0 este mai mic decât ℵ1, iar prin teorema lui Cantor, ℵ1 este mai mic sau egal cu c. Împreună cu un principiu cunoscut sub numele de axiomă a alegerii, metoda de demonstrare a teoremei lui Cantor poate fi utilizată pentru a asigura o secvență nesfârșită de cardinale transfinite care continuă după ℵ1 până la numere precum ℵ2 și ℵℵ0.

Problema continuumului este întrebarea care dintre alefuri este egală cu cardinalitatea continuumului. Cantor a conchis că c = ℵ1; aceasta este cunoscută sub numele de ipoteza continuumului lui Cantor (CH). CH poate fi considerată, de asemenea, ca afirmând că orice ansamblu de puncte de pe linie fie trebuie să fie numărabil (de mărime mai mică sau egală cu ℵ0), fie trebuie să aibă o mărime la fel de mare ca întregul spațiu (să aibă mărimea c).

La începutul anilor 1900 a fost dezvoltată o teorie amănunțită a seturilor infinite. Această teorie este cunoscută sub numele de ZFC, care înseamnă Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice. Se știe că CH este indecidabilă pe baza axiomelor din ZFC. În 1940, logicianul de origine austriacă Kurt Gödel a reușit să demonstreze că ZFC nu poate infirma CH, iar în 1963, matematicianul american Paul Cohen a arătat că ZFC nu poate demonstra CH. Teoreticienii de seturi continuă să exploreze modalități de a extinde axiomele ZFC într-un mod rezonabil, astfel încât să rezolve CH. Lucrări recente sugerează că CH poate fi fals și că adevărata dimensiune a lui c poate fi infinitul mai mare ℵ2.

.