8.3 Modele autoregresive
Într-un model de regresie multiplă, prognozăm variabila de interes utilizând o combinație liniară de predictori. Într-un model autoregresiv, prognozăm variabila de interes utilizând o combinație liniară a valorilor anterioare ale variabilei. Termenul autoregresie indică faptul că este o regresie a variabilei față de ea însăși.
Astfel, un model autoregresiv de ordinul \(p\) poate fi scris ca\unde \(\varepsilon_t\) este zgomot alb. Acesta este ca o regresie multiplă, dar cu valori întârziate ale lui \(y_t\) ca predictori. Ne referim la acest model ca la un model AR(\(p\)), un model autoregresiv de ordinul \(p\).
Modelurile autoregresive sunt remarcabil de flexibile în tratarea unei game largi de modele diferite de serii temporale. Cele două serii din figura 8.5 prezintă serii provenite dintr-un model AR(1) și un model AR(2). Schimbarea parametrilor \(\phi_1,\dots,\phi_p\) are ca rezultat diferite modele de serii temporale. Varianța termenului de eroare \(\varepsilon_t\) va schimba doar scara seriei, nu și modelele.
Figura 8.5: Două exemple de date din modele autoregresive cu parametri diferiți. Stânga: AR(1) cu \(y_t = 18 -0,8y_{t-1} + \varepsilon_t\). Dreapta: AR(2) cu \(y_t = 8 + 1,3y_{t-1}-0,7y_{t-2}+\varepsilon_t\). În ambele cazuri, \(\varepsilon_t\) este un zgomot alb distribuit normal, cu media zero și varianța unu.
Pentru un model AR(1):
- Când \(\phi_1=0\), \(y_t\) este echivalent cu un zgomot alb;
- Când \(\phi_1=1\) și \(c=0\), \(y_t\) este echivalent cu un mers aleator;
- dacă \(\phi_1=1\) și \(c\ne0\), \(y_t\) este echivalent cu un mers aleator cu derivă;
- dacă \(\phi_1<0\), \(y_t\) tinde să oscileze în jurul mediei.
În mod normal, restricționăm modelele autoregresive la date staționare, caz în care sunt necesare anumite constrângeri asupra valorilor parametrilor.
- Pentru un model AR(1): \(-1 < \phi_1 < 1\).
- Pentru un model AR(2): \(-1 < \phi_2 < 1\), \(\phi_1+\phi_2 < 1\), \(\phi_2-\phi_1 < 1\).
Când \(p\ge3\), restricțiile sunt mult mai complicate. R are grijă de aceste restricții atunci când estimează un model.
.