Logaritmii numerelor negative nu sunt definiți în numerele reale, în același mod în care rădăcinile pătrate ale numerelor negative nu sunt definite în numerele reale. Dacă se așteaptă să găsiți logaritmul unui număr negativ, un răspuns „nedefinit” este suficient în majoritatea cazurilor.
Este posibil să evaluați unul, însă răspunsul va fi un număr complex. (un număr de forma #a + bi#, unde #i = sqrt(-1)#)
Dacă sunteți familiarizați cu numerele complexe și vă simțiți confortabil lucrând cu ele, atunci citiți mai departe.
Primul rând, să începem cu un caz general:
#log_b (-x) = ?#
Vom folosi regula schimbării bazei și vom converti în logaritmi naturali, pentru a face lucrurile mai ușoare mai târziu:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Rețineți că #ln(-x)# este același lucru cu #ln(-1 * x)#. Putem exploata proprietatea de adunare a logaritmilor și să separăm această parte în doi logaritmi separați:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Acum singura problemă este să ne dăm seama ce este #ln(-1)#. Ar putea părea un lucru imposibil de evaluat la început, dar există o ecuație destul de faimoasă cunoscută sub numele de Identitatea lui Euler care ne poate ajuta.
Identitatea lui Euler afirmă:
#e^(ipi) = -1#
Acest rezultat provine din expansiunile în serie de puteri ale sinusului și cosinusului. (Nu voi explica acest lucru prea în profunzime, dar dacă vă interesează, există o pagină frumoasă aici care explică un pic mai mult)
Pentru moment, să luăm pur și simplu log natural al ambelor părți ale Identității lui Euler:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Simplificat:
#ipi = ln(-1)#
Acum, acum că știm ce este #ln(-1)#, putem înlocui înapoi în ecuația noastră:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Acum aveți o formulă pentru a găsi logaritmi ai numerelor negative. Astfel, dacă dorim să evaluăm ceva de genul #log_2 10#, putem introduce pur și simplu câteva valori:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#aprox. 3,3219 + 4,5324i#
.