Care este cel mai mare număr din lume?

Dacă ați întrebat vreodată care este cel mai mare număr în timpul unei lecții de matematică, este foarte probabil ca o scânteie strălucitoare să fi venit cu un răspuns de genul: „Este ușor! Este infinitul, bineînțeles!”

Singura problemă cu infinitul este că nu este un număr ca atare, după cum demonstrează conversația de mai jos între două scântei luminoase.

Scânteia luminoasă unu: „Infinitul este cel mai mare număr din lume, e ușor!”

Scânteia luminoasă doi: „Ei bine, am un număr mai mare pentru tine – infinitul plus unu!”

Scânteia luminoasă unu din nou: „Am un număr mai mare decât al tău – infinit plus unu, de un milion de ori!”

Conversația continuă astfel pentru ceea ce pare a fi o perioadă de timp infinită, până când niciuna dintre cele două scântei luminoase nu a ajuns la cel mai mare număr din lume.

Până la scurt timp, cele două scântei luminoase și-au dat seama că infinitul nu este de fapt un număr, ci mai degrabă un concept. Ceea ce nimeni nu le-a spus încă celor două scântei luminoase este despre ideea șocantă că există diferite mărimi ale infinitului! Așadar, cum calculăm cel mai mare număr?

Infinitul numerelor de numărat

Cel mai simplu mod de a crea un set de numere care are o dimensiune infinită este prin numărarea numerelor întregi. Acest set de numere se numește numere naturale și, evident, este infinit ca mărime, deoarece putem continua să numărăm la nesfârșit. Simbolul este folosit pentru a eticheta acest set și reprezintă „numere naturale”.

Să ne uităm acum la o altă listă de numere și să numim acest set (propria noastră etichetă):

Setul este, de asemenea, infinit ca dimensiune, dar pare să conțină cu un număr mai puțin decât . Sunt ele de aceeași mărime?

Putem arăta că și sunt de fapt de aceeași mărime arătând că există o corespondență unu la unu între elementele din și elementele din .

…

Până acum am fi spus că mărimea lui este pur și simplu infinitul, care se scrie ca un număr opt pe partea sa:.

Dar suntem pe cale să aflăm că există diferite mărimi ale infinitului, așa că acum etichetăm mărimea lui ca fiind , care se pronunță ca „aleph zero”. este cea mai mică dimensiune a infinitului, iar setul nostru are, de asemenea, dimensiunea .

Alte seturi care au dimensiunea

Există multe alte seturi de numere care au dimensiunea infinită a lui . Printre acestea se numără setul numerelor întregi pozitive și pare și, de asemenea, ceea ce este cunoscut sub numele de setul numerelor raționale. Numerele raționale sunt toate numerele care pot fi scrise ca fracții. Dacă un set de numere are dimensiunea , se spune că este numărabil.

Putem scrie fiecare fracție posibilă într-un tabel ca cel de mai jos. Fracțiile echivalente pot apărea de mai multe ori, de exemplu , însă putem elimina cu ușurință orice repetiție din tabel. Putem apoi să desenăm pe un model diagonal care ne va permite să punem fracțiile noastre într-o listă. Rămânem acum cu o listă ordonată de fracții …

Dacă avem o listă de fracții, acestea pot fi numărate și, prin urmare, se spune că numerele raționale sunt numărabile.

Cum găsim o mărime a infinitului care să fie mai mare decât?

Nu orice număr poate fi scris sub formă de fracție. Numerele care nu pot fi scrise ca fracții se numesc numere iraționale. Exemple bine cunoscute sunt și surde precum și .

Expansiunile zecimale ale numerelor iraționale precum (3,1415926535…) continuă la nesfârșit, iar aceste numere nu pot fi scrise niciodată sub formă de fracții, chiar dacă oamenilor le place să folosească ca o aproximare pentru .

Să ne uităm acum la setul tuturor numerelor care sunt cuprinse între 0 și 1. Acest set va include numere raționale, cum ar fi , precum și numere iraționale, cum ar fi Acest set de numere este în mod clar infinit ca dimensiune, deoarece ne putem gândi întotdeauna la tot mai multe numere care sunt conținute în intervalul (0,1).

În 1873, un matematician german pe nume Georg Cantor a inventat o dovadă foarte inteligentă că ansamblul tuturor numerelor reale din intervalul (0,1) are o dimensiune care este un infinit mai mare decât dimensiunea ansamblului numerelor naturale .

Rezumat al faimosului argument diagonal al lui Cantor.

Să presupunem că dimensiunea ansamblului tuturor numerelor reale din intervalul (0,1) are aceeași dimensiune ca și . Am putea atunci să facem o listă încercând să numărăm în sus prin numerele reale cuprinse între 0 și 1. Ar putea arăta cam așa dacă nu am fi foarte logici:

Postul următor cu adevărat inteligent al lui Cantor a fost să construiască un nou număr care nu se află pe listă. Argumentul lui Cantor va funcționa fie dacă folosim o listă ca cea de mai sus, fie chiar dacă încercăm cu minuțiozitate să facem o listă logică care să încerce să cuprindă fiecare număr între 0 și 1:

Modul ingenios al lui Cantor de a alege un număr care nu se află pe listă.

Este clar că acest nou număr nu se află pe listă și Cantor găsise o contradicție – Cantor a arătat că nu se poate face niciodată o corespondență unu la unu între numerele naturale și numerele reale în intervalul (0,1). Cantor a demonstrat că dimensiunea numerelor reale este mai mare decât dimensiunea numerelor naturale! Numerele reale sunt nenumărabile! Există diferite mărimi ale infinitului!

În concluzie, răspunsul la întrebarea care este cel mai mare număr din lume nu este simplu. Pe scurt, nu există cel mai mare număr, poți continua să numeri la nesfârșit. Dar puteți găsi, de asemenea, două grupuri de numere – ambele infinite ca mărime, dar și diferite ca mărime una față de cealaltă. Este cu adevărat incredibil să te gândești la asta!

Cel mai mare număr: Lecturi suplimentare

Acest articol a început doar să zgârie suprafața acestui subiect fascinant și năucitor. Dacă doriți să citiți mai mult, încercați „The Continuum Hypothesis” în revista Plus. Dacă alegeți să studiați matematica la nivel de licență, veți avea șansa de a studia ceea ce este cunoscut sub numele de teoria seturilor, acoperind mai în detaliu subiectele discutate în acest articol.

Articol de Hazel Lewis