- Learning Outcomes
- Lineaire (algebraïsche) groei
- voorspellen van groei
- Lineaire groei
- Recursieve vorm
- Expliciete vorm
- Verbinding met eerdere leerervaringen: Helling en intercept
- Voorbeelden
- Recursieve vorm
- Expliciete vorm
- Recursieve vorm
- Expliciete vorm
- Probeer het
- Wanneer goede modellen slecht uitpakken
- Voorbeeld
- Recursieve vorm
- Expliciete vorm
- Exponentiële (Geometrische ) Groei
- Bevolkingsgroei
- Exponentiële groei
- Recursieve vorm
- Expliciete vorm
- Voorbeeld
- Evalueren van exponenten op de rekenmachine
- Probeer het
- Voorbeelden
- Afronding
- Wortels uitrekenen op de rekenmachine
- Probeer het
- Voorbeeld
Learning Outcomes
- Bepalen of gegevens of een scenario een lineaire of geometrische groei beschrijven
- Groeipercentages, beginwaarden, of puntwaarden identificeren die mondeling, grafisch, of numeriek, en deze vertalen naar een voor berekening bruikbaar formaat
- Recursieve en expliciete vergelijkingen voor lineaire en geometrische groei berekenen gegeven voldoende informatie, en deze vergelijkingen gebruiken om voorspellingen te doen
Het hebben van een constante veranderingssnelheid is het bepalende kenmerk van lineaire groei. Het uitzetten van coördinatenparen die samenhangen met constante verandering zal resulteren in een rechte lijn, de vorm van lineaire groei. In dit deel zullen we een manier formaliseren om lineaire groei te beschrijven met wiskundige termen en concepten. Aan het eind van dit hoofdstuk zul je in staat zijn zowel recursieve als expliciete vergelijkingen te schrijven voor lineaire groei gegeven de beginvoorwaarden, of een constante van verandering. U zult ook het verschil kunnen zien tussen lineaire en geometrische groei aan de hand van een grafiek of een vergelijking.
Lineaire (algebraïsche) groei
voorspellen van groei
Marco is een verzamelaar van antieke frisdrankflessen. Zijn verzameling bestaat momenteel uit 437 flessen. Elk jaar begroot hij genoeg geld om 32 nieuwe flessen te kopen. Kunnen we bepalen hoeveel flessen hij over 5 jaar zal hebben, en hoe lang het zal duren voor zijn verzameling 1000 flessen heeft?
Twee van deze vragen zou je waarschijnlijk zonder vergelijking of formele wiskunde kunnen oplossen, maar we gaan onze benadering van dit probleem formaliseren om een manier te bieden om ingewikkelder vragen te beantwoorden.
Voorstel dat Pn het aantal flessen voorstelt, of de populatie, die Marco na n jaar heeft. Dus P0 staat voor het aantal flessen nu, P1 voor het aantal flessen na 1 jaar, P2 voor het aantal flessen na 2 jaar, enzovoort. We zouden de verandering in Marco’s flessenverzameling kunnen beschrijven met:
P0 = 437
Pn = Pn-1 + 32
Dit heet een recursief verband. Een recursief verband is een formule die de volgende waarde in een reeks relateert aan de vorige waarden. Hier kan het aantal flessen in jaar n worden gevonden door 32 op te tellen bij het aantal flessen in het vorige jaar, Pn-1. Met dit verband kunnen we berekenen:
P1 = P0 + 32 = 437 + 32 = 469
P2 = P1 + 32 = 469 + 32 = 501
P3 = P2 + 32 = 501 + 32 = 533
P4 = P3 + 32 = 533 + 32 = 565
P5 = P4 + 32 = 565 + 32 = 597
We hebben de vraag beantwoord hoeveel flessen Marco over 5 jaar zal hebben.
Hoe lang het echter duurt voordat zijn verzameling 1000 flessen heeft bereikt, is nog veel meer rekenwerk nodig.
Hoewel recursieve verbanden uitstekend zijn om eenvoudig en netjes te beschrijven hoe een grootheid verandert, zijn ze niet handig om voorspellingen te doen of problemen op te lossen die zich tot ver in de toekomst uitstrekken. Daarvoor heeft een gesloten of expliciete vorm voor de relatie de voorkeur. Een expliciete vergelijking stelt ons in staat Pn direct te berekenen, zonder dat we Pn-1 hoeven te kennen. Misschien kunt u de expliciete vergelijking al raden, maar laten we die afleiden uit de recursieve formule. We kunnen dit doen door selectief niet te vereenvoudigen als we gaan:
P1 = 437 + 32 = 437 + 1(32)
P2 = P1 + 32 = 437 + 32 + 32 = 437 + 2(32)
P3 = P2 + 32 = (437 + 2(32)) + 32 = 437 + 3(32)
P4 = P3 + 32 = (437 + 3(32)) + 32 = 437 + 4(32)
U kunt nu waarschijnlijk het patroon zien, en veralgemenen dat
Pn = 437 + n(32) = 437 + 32n
Met deze vergelijking kunnen we uitrekenen hoeveel flessen hij na 5 jaar zal hebben:
P5 = 437 + 32(5) = 437 + 160 = 597
We kunnen nu ook oplossen voor wanneer de collectie 1000 flessen zal bereiken door 1000 in te wisselen voor Pn en op te lossen voor n
1000 = 437 + 32n
563 = 32n
n = 563/32 = 17.59
Dus Marco zal 1000 flessen bereiken in 18 jaar.
De stappen van het bepalen van de formule en het oplossen van het probleem van Marco’s flessenverzameling worden in detail uitgelegd in de volgende video’s.
In dit voorbeeld groeide Marco’s verzameling elk jaar met hetzelfde aantal flessen. Deze constante verandering is het kenmerk van lineaire groei. Als we de waarden die we voor Marco’s verzameling hebben berekend uitzetten, zien we dat de waarden een rechte lijn vormen, de vorm van lineaire groei.
Lineaire groei
Als een hoeveelheid begint bij grootte P0 en elke tijdsperiode met d groeit, dan kan de hoeveelheid na n tijdsperioden worden bepaald met behulp van een van deze relaties:
Recursieve vorm
Pn = Pn-1 + d
Expliciete vorm
Pn = P0 + d n
In deze vergelijking staat d voor het gemeenschappelijke verschil – de hoeveelheid die de populatie verandert elke keer dat n met 1 toeneemt.
Verbinding met eerdere leerervaringen: Helling en intercept
Je herkent het gemeenschappelijke verschil, d, in onze lineaire vergelijking misschien als helling. In feite moet de hele expliciete vergelijking je bekend voorkomen – het is dezelfde lineaire vergelijking die je in algebra hebt geleerd, waarschijnlijk gesteld als y = mx + b.
In de standaard algebraïsche vergelijking y = mx + b, was b het y-afsnijpunt, of de y-waarde wanneer x nul was. In de vorm van de vergelijking die we gebruiken, gebruiken we P0 om die beginwaarde weer te geven.
In de vergelijking y = mx + b, herinnert u zich dat m de helling was. Je zou dit kunnen herinneren als “stijging over run,” of de verandering in y gedeeld door de verandering in x. Hoe dan ook, het vertegenwoordigt hetzelfde als het gemeenschappelijke verschil, d, dat we gebruiken – de hoeveelheid die de output Pn verandert wanneer de input n toeneemt met 1.
De vergelijkingen y = mx + b en Pn = P0 + d n betekenen hetzelfde en kunnen op dezelfde manieren worden gebruikt. We schrijven het alleen iets anders.
Voorbeelden
De populatie elanden in een nationaal bos is in 2003 gemeten op 12.000, en is in 2007 opnieuw gemeten op 15.000. Als de populatie in dit tempo lineair blijft groeien, hoe groot zal de elandenpopulatie dan in 2014 zijn?
Bekijk hier meer over dit voorbeeld.
Het benzineverbruik in de VS is gestaag toegenomen. De verbruiksgegevens van 1992 tot 2004 zijn hieronder weergegeven. Zoek een model voor deze gegevens, en gebruik het om het verbruik in 2016 te voorspellen. Als de trend doorzet, wanneer zal het verbruik dan 200 miljard gallon bereiken?
Jaar | ’92 | ’93 | ’94 | ’95 | ’96 | ’97 | ’98 | ’99 | ’00 | ’01 | ’02 | ’03 | ’04 |
Consumptie (miljard gallons) | 110 | 111 | 113 | 116 | 118 | 119 | 123 | 125 | 126 | 128 | 131 | 133 | 136 |
De stappen om tot dit antwoord te komen worden in de volgende video in detail beschreven.
De kosten, in dollars, van een lidmaatschap van een sportschool voor n maanden kunnen worden beschreven door de expliciete vergelijking Pn = 70 + 30n. Wat zegt deze vergelijking ons?
De verklaring voor dit voorbeeld wordt hieronder in detail beschreven.
Probeer het
Het aantal thuisblijvende vaders in Canada is gestaag gegroeid. Hoewel de trend niet perfect lineair is, is hij wel redelijk lineair. Gebruik de gegevens van 1976 en 2010 om een expliciete formule te vinden voor het aantal thuisblijvende vaders, en gebruik die vervolgens om het aantal in 2020 te voorspellen.
Jaar | 1976 | 1984 | 1991 | 2000 | 2010 |
# thuisblijf-thuisblijvende vaders | 20610 | 28725 | 43530 | 47665 | 53555 |
Wanneer goede modellen slecht uitpakken
Bij het gebruik van wiskundige modellen om toekomstig gedrag te voorspellen, is het belangrijk in gedachten te houden dat maar heel weinig trends voor onbepaalde tijd zullen aanhouden.
Voorbeeld
Voorstel dat een vierjarig jongetje op dit moment 39 centimeter lang is, en u wordt verteld dat u verwacht dat hij 2,5 centimeter per jaar zal groeien.
We kunnen een groeimodel opstellen, waarbij n = 0 overeenkomt met 4 jaar oud.
Recursieve vorm
P0 = 39
Pn = Pn-1 + 2,5
Expliciete vorm
Pn = 39 + 2.5(n)
Dus op 6 jarige leeftijd zouden we verwachten dat hij
P2 = 39 + 2.5(2) = 44 inches lang
Elk wiskundig model gaat uiteindelijk stuk. We mogen zeker niet verwachten dat deze jongen zijn hele leven in hetzelfde tempo blijft groeien. Als hij dat deed, zou hij op 50-jarige leeftijd 39 + 2,5(46) = 154 centimeter lang = 12,8 voet lang zijn!
Wanneer we een wiskundig model gebruiken, moeten we overwegen welke invoergegevens redelijk zijn om te gebruiken. Wanneer we extrapoleren, of voorspellingen doen voor de toekomst, gaan we ervan uit dat het model geldig blijft.
Bekijk hier een video-uitleg van deze uitsplitsing van het lineaire groeimodel.
Exponentiële (Geometrische ) Groei
Bevolkingsgroei
Stel dat elk jaar slechts 10% van de vissen in een meer overlevende nakomelingen heeft. Als er vorig jaar 100 vissen in het meer zaten, zouden er nu 110 vissen zijn. Als er vorig jaar 1000 vissen in het meer zaten, zouden er nu 1100 vissen zijn. Zonder remmende factoren hebben mensen en dieren de neiging om elk jaar met een percentage van de bestaande populatie te groeien.
Stel dat ons meer begon met 1000 vissen, en dat elk jaar 10% van de vissen overlevende nakomelingen heeft. Aangezien we beginnen met 1000 vissen, is P0 = 1000. Hoe berekenen we P1? De nieuwe populatie zal de oude populatie zijn, plus nog eens 10%. Symbolisch:
P1 = P0 + 0.10P0
Merk op dat dit tot een kortere vorm kan worden ingekort door ontbinding in factoren:
P1 = P0 + 0.10P0 = 1P0 + 0.10)P0 = (1+ 0.10)P0 = 1.10P0
Want 10% is het groeipercentage, 1.10 is de groeivermenigvuldigingsfactor. Merk op dat 1,10 kan worden opgevat als “de oorspronkelijke 100% plus nog eens 10%.”
Voor onze vispopulatie,
P1 = 1,10(1000) = 1100
Wij kunnen dan de populatie in latere jaren berekenen:
P2 = 1,10P1 = 1,10(1100) = 1210
P3 = 1,10P2 = 1,10(1210) = 1331
Merk op dat in het eerste jaar de populatie met 100 vissen is toegenomen; in het tweede jaar met 110 vissen; en in het derde jaar met 121 vissen.
Terwijl er sprake is van een constante procentuele groei, neemt de feitelijke toename van het aantal vissen elk jaar toe.
Als we deze waarden in een grafiek zetten, zien we dat deze groei niet helemaal lineair lijkt.
Een walkthrough van dit visscenario kan hier worden bekeken:
Om een beter beeld te krijgen van de invloed van deze procentuele groei, hebben we een expliciete vorm nodig, zodat we snel waarden verder in de toekomst kunnen uitrekenen.
Net als bij het lineaire model gaan we uit van de recursieve vergelijking:
P1 = 1,10(P0 )= 1,10(1000)
P2 = 1,10(P1 )= 1,10(1,10(1000)) = 1,102(1000)
P3 = 1.10(P2 )= 1.10(1.102(1000)) = 1.103(1000)
P4 = 1.10(P3 )= 1.10(1.103(1000)) = 1.104(1000)
Observeren we een patroon, dan kunnen we de expliciete vorm veralgemenen tot:
Pn = 1.10n(1000), of omgekeerd, Pn = 1000(1.10n)
Hieruit kunnen we snel het aantal vissen in 10, 20 of 30 jaar berekenen:
P10 = 1.1010(1000) = 2594
P20 = 1.1020(1000) = 6727
P30 = 1.1030(1000) = 17449
Als we deze waarden bij onze grafiek optellen, zien we een vorm die beslist niet lineair is. Als onze vispopulatie lineair was gegroeid, met 100 vissen per jaar, zou de populatie in 30 jaar slechts 4000 hebben bereikt, vergeleken met bijna 18.000 met deze procentuele groei, exponentiële groei genoemd.
Een video die het expliciete model van dit visverhaal demonstreert, kan hier worden bekeken:
In exponentiële groei groeit de populatie evenredig met de grootte van de populatie, dus als de populatie groter wordt, zal dezelfde procentuele groei een grotere getalsmatige groei opleveren.
Exponentiële groei
Als een grootheid begint bij grootte P0 en elke tijdsperiode met R% (geschreven als een decimaal, r) groeit, dan kan de grootheid na n tijdsperioden worden bepaald met behulp van een van deze relaties:
Recursieve vorm
Pn = (1+r) Pn-1
Expliciete vorm
Pn = (1+r)n P0 of omgekeerd, Pn = P0 (1+r)n
We noemen r de groeisnelheid.
De term (1+r) noemen we de groeivermenigvuldigingsfactor, of common ratio.
Voorbeeld
Tussen 2007 en 2008 groeide Olympia, WA met bijna 3% tot een inwonertal van 245 duizend mensen. Als deze groei doorzet, hoe groot zou het inwonertal van Olympia dan zijn in 2014?
In de volgende video wordt dit voorbeeld in detail uitgelegd.
Evalueren van exponenten op de rekenmachine
Om uitdrukkingen als (1,03)6 te evalueren, is het gemakkelijker om een rekenmachine te gebruiken dan 1,03 zes keer met zichzelf te vermenigvuldigen. De meeste wetenschappelijke rekenmachines hebben een knop voor exponenten. Het is meestal gelabeld als:
^ , yx , of xy .
Om 1,036 te evalueren zouden we 1,03 ^ 6 typen, of 1,03 yx 6. Probeer het maar eens – je zou een antwoord rond 1,1940523 moeten krijgen.
Probeer het
India is het op een na dichtstbevolkte land ter wereld, met een bevolking in 2008 van ongeveer 1,14 miljard mensen. De bevolking groeit elk jaar met ongeveer 1,34%. Als deze trend doorzet, hoe groot zal de Indiase bevolking dan zijn in 2020?
Voorbeelden
Een vriendin gebruikt de vergelijking Pn = 4600(1.072)n om het jaarlijkse collegegeld van een plaatselijke universiteit te voorspellen. Ze zegt dat de formule is gebaseerd op jaren na 2010. Wat vertelt deze vergelijking ons?
Bekijk het volgende om dit voorbeeld uitgewerkt te zien.
In 1990 was het huishoudelijk energiegebruik in de VS verantwoordelijk voor 962 miljoen ton kooldioxide-uitstoot. In het jaar 2000 was dat aantal gestegen tot 1182 miljoen ton. Als de uitstoot exponentieel toeneemt en in hetzelfde tempo doorgaat, hoe groot zal de uitstoot dan in 2050 zijn?
Bekijk hier meer over dit voorbeeld.
Afronding
Opgemerkt zij dat als we het groeipercentage op 2,1% hadden afgerond, onze berekening voor de emissies in 2050 3347 zou zijn geweest. Afronden op 2% zou ons resultaat hebben veranderd in 3156. Een zeer klein verschil in de groeipercentages wordt sterk vergroot bij exponentiële groei. Daarom wordt aanbevolen het groeipercentage zo weinig mogelijk af te ronden.
Als u moet afronden, houd dan ten minste drie significante cijfers aan – getallen na eventuele voorloopnullen. Dus 0,4162 kan redelijkerwijs worden afgerond tot 0,416. Een groeipercentage van 0,001027 kan redelijkerwijs worden afgerond op 0,00103.
Wortels uitrekenen op de rekenmachine
In het vorige voorbeeld moesten we de tiende wortel van een getal uitrekenen. Dit is anders dan het nemen van de gewone vierkantswortel, √. Veel wetenschappelijke rekenmachines hebben een knop voor algemene wortels. Het label is meestal als volgt:
\sqrt{x}
Om bijvoorbeeld de 3e wortel van 8 te berekenen, typen we ofwel 3 \sqrt{{}} 8, of 8 \sqrt{{}} 3, afhankelijk van de rekenmachine. Probeer het op de jouwe om te zien welke je moet gebruiken – je zou een antwoord van 2 moeten krijgen.
Als je rekenmachine geen algemene wortelknop heeft, is niet alles verloren. Je kunt in plaats daarvan de eigenschap van exponenten gebruiken die stelt dat:
sqrt{a}={a}^{\frac{1}{2}}.
Om de 3e wortel van 8 te berekenen, kun je dus de exponent-toets van je rekenmachine gebruiken om 81/3 te berekenen. Om dit te doen, typt u:
8 yx ( 1 ÷ 3 )
De haakjes vertellen de rekenmachine om 1/3 te delen voordat de exponent wordt gedaan.
Probeer het
Het aantal gebruikers op een sociale netwerksite was 45 duizend in februari toen ze officieel naar de beurs gingen, en groeide tot 60 duizend in oktober. Als de site exponentieel groeit, en de groei gaat in hetzelfde tempo door, hoeveel gebruikers kunnen ze dan verwachten twee jaar nadat ze naar de beurs zijn gegaan?
Voorbeeld
Ter vergelijking: wat zou de koolstofuitstoot in 2050 zijn als de uitstoot lineair in hetzelfde tempo toeneemt?
Een demonstratie van dit voorbeeld is te zien in de volgende video.
Dus hoe weten we welk groeimodel we moeten gebruiken wanneer we met gegevens werken? Er zijn twee benaderingen die waar mogelijk samen moeten worden gebruikt:
- Zoek meer dan twee stukken gegevens. Zet de waarden uit, en zoek naar een trend. Lijkt het alsof de gegevens als een lijn veranderen, of lijken de waarden naar boven te buigen?
- Beschouw de factoren die bijdragen aan de gegevens. Zijn dat dingen waarvan je zou verwachten dat ze lineair of exponentieel veranderen? In het geval van koolstofemissies bijvoorbeeld, zou men verwachten dat deze, bij afwezigheid van andere factoren, nauw samenhangen met bevolkingsaantallen, die de neiging hebben exponentieel te veranderen.