Rumore bianco | Li Linguas

Vettore rumore biancoModifica

Un vettore casuale (cioè un processo parzialmente indeterminato che produce vettori di numeri reali) è detto vettore rumore bianco o vettore casuale bianco se le sue componenti hanno ciascuna una distribuzione di probabilità con media zero e varianza finita, e sono statisticamente indipendenti: cioè, la loro distribuzione di probabilità congiunta deve essere il prodotto delle distribuzioni delle singole componenti.

Una condizione necessaria (ma, in generale, non sufficiente) per l’indipendenza statistica di due variabili è che esse siano statisticamente non correlate; cioè, la loro covarianza è zero. Pertanto, la matrice di covarianza R delle componenti di un vettore di rumore bianco w con n elementi deve essere una matrice diagonale n per n, dove ogni elemento diagonale Rii è la varianza della componente wi; e la matrice di correlazione deve essere la matrice di identità n per n.

Se, oltre ad essere indipendente, ogni variabile in w ha anche una distribuzione normale con media zero e la stessa varianza σ 2 {displaystyle \sigma ^{2}}

, si dice che w è un vettore di rumore bianco gaussiano. In questo caso, la distribuzione congiunta di w è una distribuzione normale multivariata; l’indipendenza tra le variabili implica quindi che la distribuzione ha simmetria sferica nello spazio n-dimensionale. Pertanto, qualsiasi trasformazione ortogonale del vettore risulterà in un vettore casuale bianco gaussiano. In particolare, sotto la maggior parte dei tipi di trasformata discreta di Fourier, come FFT e Hartley, anche la trasformata W di w sarà un vettore di rumore bianco gaussiano; cioè, gli n coefficienti di Fourier di w saranno variabili gaussiane indipendenti con media zero e la stessa varianza σ 2 {displaystyle \sigma ^{2}}

Lo spettro di potenza P di un vettore casuale w può essere definito come il valore atteso del modulo quadratico di ogni coefficiente della sua trasformata di Fourier W, cioè Pi = E(|Wi|2). Sotto questa definizione, un vettore di rumore bianco gaussiano avrà uno spettro di potenza perfettamente piatto, con Pi = σ2 per tutti gli i.

Se w è un vettore casuale bianco, ma non gaussiano, i suoi coefficienti di Fourier Wi non saranno completamente indipendenti l’uno dall’altro; sebbene per grandi n e distribuzioni di probabilità comuni le dipendenze sono molto sottili, e le loro correlazioni a coppie possono essere assunte a zero.

Spesso nella definizione di rumore bianco si usa la condizione più debole “statisticamente non correlato”, invece di “statisticamente indipendente”. Tuttavia alcune delle proprietà comunemente attese del rumore bianco (come lo spettro di potenza piatto) potrebbero non essere valide per questa versione più debole. Sotto questa assunzione, la versione più rigorosa può essere indicata esplicitamente come vettore di rumore bianco indipendente.:p.60 Altri autori usano invece fortemente bianco e debolmente bianco.

Un esempio di un vettore casuale che è “rumore bianco gaussiano” nel senso debole ma non in quello forte è x= dove x1 è una variabile casuale normale con media zero, e x2 è uguale a +x1 o a -x1, con uguale probabilità. Queste due variabili sono non correlate e individualmente distribuite normalmente, ma non sono congiuntamente distribuite normalmente e non sono indipendenti. Se x viene ruotato di 45 gradi, le sue due componenti saranno ancora non correlate, ma la loro distribuzione non sarà più normale.

In alcune situazioni si può rilassare la definizione permettendo che ogni componente di un vettore casuale bianco w abbia un valore atteso non nullo μ {displaystyle \mu }

. In particolare nell’elaborazione delle immagini, dove i campioni sono tipicamente limitati a valori positivi, si prende spesso μ {displaystyle \mu }

per essere la metà del valore massimo del campione. In questo caso, il coefficiente di Fourier W0 corrispondente alla componente a frequenza zero (essenzialmente, la media delle wi) avrà anche un valore atteso non nullo μ n {displaystyle \mu {\sqrt {n}}

; e lo spettro di potenza P sarà piatto solo sulle frequenze non nulle.

Rumore bianco a tempo discretoModifica

Un processo stocastico a tempo discreto W {\displaystyle W}

è una generalizzazione dei vettori casuali con un numero finito di componenti all’infinito. Un processo stocastico a tempo discreto W {displaystyle W}

è chiamato rumore bianco se la sua media non dipende dal tempo n {\displaystyle n}

ed è uguale a zero, cioè E ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} ]=0}

e se la funzione di autocorrelazione R W = E W ] {\displaystyle R_{W}=\operatorname {E} W]}

dipende solo da n {\displaystyle n}

ma non da k {\displaystyle k}

ed ha un valore diverso da zero solo per n = 0 {\displaystyle n=0}

, cioè R W = σ 2 δ {displaystyle R_{W}=sigma ^{2}\delta }

Rumore bianco a tempo continuoModifica

Per definire la nozione di “rumore bianco” nella teoria dei segnali a tempo continuo, si deve sostituire il concetto di “vettore casuale” con un segnale casuale a tempo continuo; cioè un processo casuale che genera una funzione w {\displaystyle w}

di un parametro reale t {displaystyle t}

Si dice che un tale processo è rumore bianco nel senso più forte se il valore w ( t ) {\displaystyle w(t)}

per qualsiasi tempo t {displaystyle t}

è una variabile casuale che è statisticamente indipendente dalla sua intera storia prima di t {\displaystyle t}

. Una definizione più debole richiede l’indipendenza solo tra i valori w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

e w ( t 2 ) {displaystyle w(t_{2})}

in ogni coppia di tempi distinti t 1 {displaystyle t_{1}}

e t 2 {displaystyle t_{2}

. Una definizione ancora più debole richiede solo che tali coppie w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

e w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

siano non correlati. Come nel caso discreto, alcuni autori adottano la definizione più debole di “rumore bianco”, e usano il qualificatore indipendente per riferirsi a una delle definizioni più forti. Altri usano debolmente bianco e fortemente bianco per distinguerli.

Tuttavia, una definizione precisa di questi concetti non è banale, perché alcune quantità che sono somme finite nel caso discreto finito devono essere sostituite da integrali che possono non convergere. Infatti, l’insieme di tutte le possibili istanze di un segnale w {displaystyle w}

non è più uno spazio finito-dimensionale R n {displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

, ma uno spazio funzionale infinito. Inoltre, per qualsiasi definizione un segnale di rumore bianco w {displaystyle w}

dovrebbe essere essenzialmente discontinuo in ogni punto; quindi anche le operazioni più semplici su w {\displaystyle w}

, come l’integrazione su un intervallo finito, richiedono macchinari matematici avanzati.

Alcuni autori richiedono che ogni valore w ( t ) {\displaystyle w(t)}

sia una variabile casuale a valore reale con aspettativa μ {displaystyle \mu }

e una varianza finita σ 2 {displaystyle \sigma ^{2}}

. Allora la covarianza E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

tra i valori ai due tempi t 1 {displaystyle t_{1}

e t 2 {displaystyle t_{2}

è ben definito: è zero se i tempi sono distinti, e σ 2 {displaystyle \sigma ^{2}

se sono uguali. Tuttavia, con questa definizione, l’integrale W = ∫ a a + r w ( t ) d t {\displaystyle W_{}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt}

su qualsiasi intervallo di larghezza positiva r {displaystyle r}

sarebbe semplicemente la larghezza per l’aspettativa: r μ {\displaystyle r\mu }

. Questa proprietà renderebbe il concetto inadeguato come modello di segnali fisici di “rumore bianco”.

Pertanto, la maggior parte degli autori definisce il segnale w {displaystyle w}

indirettamente specificando valori non nulli per gli integrali di w ( t ) {\displaystyle w(t)}

e | w ( t ) | 2 {displaystyle |w(t)|^{2}

su un qualsiasi intervallo {\displaystyle }

, in funzione della sua larghezza r {displaystyle r}

. In questo approccio, tuttavia, il valore di w ( t ) {\displaystyle w(t)}

in un momento isolato non può essere definito come una variabile casuale con valore reale. Anche la covarianza E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

diventa infinita quando t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}}