Qual è il numero più grande del mondo?

Se ti è mai capitato di chiedere qual è il numero più grande durante una lezione di matematica, è molto probabile che qualche brillante scintilla abbia dato una risposta del tipo: “È facile! È l’infinito, naturalmente!”

L’unico problema con l’infinito è che non è un numero in quanto tale, come dimostra la conversazione qui sotto tra due scintille brillanti.

Scintilla brillante uno: “L’infinito è il numero più grande del mondo, è facile!”

Scintilla luminosa due: “Beh, ho un numero più grande per te – l’infinito più uno!”

Scintilla luminosa uno ancora: “Ho un numero che batte il tuo – infinito più uno, per un milione di volte!”

La conversazione continua così per quello che sembra un’infinità di tempo fino a quando nessuna delle due scintille luminose è arrivata al numero più grande del mondo.

Prima che le due scintille luminose si siano rese conto che l’infinito non è affatto un numero, è più un concetto. Quello che nessuno ha ancora detto alle due scintille luminose è l’idea sconvolgente che ci sono diverse dimensioni dell’infinito! Allora, come si calcola il numero più grande?

L’infinito dei numeri che contano

Il modo più semplice di creare un insieme di numeri di dimensioni infinite è quello di contare per eccesso in numeri interi. Questo insieme di numeri è chiamato i numeri naturali e, ovviamente, è di dimensioni infinite perché possiamo continuare a contare all’infinito. Il simbolo è usato per etichettare questo insieme e sta per ‘numeri naturali’.

Guardiamo ora un’altra lista di numeri e chiamiamo questo insieme (la nostra etichetta):

L’insieme è anche di dimensioni infinite, ma sembra contenere un numero in meno di . Sono della stessa dimensione?

Possiamo dimostrare che e sono effettivamente della stessa dimensione mostrando che c’è una corrispondenza uno a uno tra gli elementi di e gli elementi di .

…

Fino ad ora avremmo detto che la grandezza di era semplicemente l’infinito, che si scrive come un numero otto di lato:.

Tuttavia stiamo per scoprire che ci sono diverse dimensioni dell’infinito, e così ora etichettiamo la dimensione di come che si pronuncia come ‘aleph zero’. è la più piccola dimensione dell’infinito, e anche il nostro insieme ha la dimensione .

Altri insiemi che hanno la dimensione

Ci sono molti altri insiemi di numeri che hanno la dimensione infinita di . Questi includono l’insieme dei numeri interi positivi e pari, e anche quello che è noto come l’insieme dei numeri razionali. I numeri razionali sono tutti i numeri che possono essere scritti come frazioni. Se un insieme di numeri ha la dimensione si dice che è numerabile.

Possiamo scrivere ogni possibile frazione in una tabella come quella qui sotto. Frazioni equivalenti potrebbero apparire più di una volta, per esempio , ma possiamo facilmente rimuovere ogni ripetizione dalla tabella. Possiamo poi disegnare un modello diagonale che ci permetterà di mettere le nostre frazioni in una lista. Ora ci ritroviamo con una lista ordinata di frazioni …

Se abbiamo una lista di frazioni, esse possono essere contate e i numeri razionali sono quindi detti numerabili.

Come facciamo a trovare una dimensione di infinito che sia più grande di?

Non tutti i numeri possono essere scritti come frazioni. I numeri che non possono essere scritti come frazioni sono chiamati numeri irrazionali. Esempi ben noti includono e le ascisse come e .

Le espansioni decimali di numeri irrazionali come (3.1415926535…) vanno avanti all’infinito, e questi numeri non possono mai essere scritti come frazioni, anche se alla gente piace usare come approssimazione per .

Guardiamo ora l’insieme di tutti i numeri che sono tra 0 e 1. Questo insieme includerà numeri razionali come e numeri irrazionali come Questo insieme di numeri è chiaramente di dimensioni infinite, poiché possiamo sempre pensare a più e più numeri che sono contenuti nell’intervallo (0,1).

Nel 1873 un matematico tedesco chiamato Georg Cantor inventò una prova molto intelligente che l’insieme di tutti i numeri reali nell’intervallo (0,1) ha una dimensione che è un infinito più grande della dimensione dell’insieme dei numeri naturali .

Sommario del famoso argomento diagonale di Cantor.

Prevediamo che la dimensione dell’insieme di tutti i numeri reali nell’intervallo (0,1) sia la stessa di . Potremmo quindi fare una lista cercando di contare su tutti i numeri reali tra 0 e 1. Potrebbe essere qualcosa del genere se non fossimo molto logici:

Il prossimo passo davvero intelligente di Cantor è stato quello di costruire un nuovo numero che non è nella lista. L’argomentazione di Cantor funzionerà sia se usiamo una lista come quella di cui sopra, o anche se cerchiamo scrupolosamente di fare una lista logica che cerchi di catturare ogni numero tra 0 e 1:

Il modo intelligente di Cantor di scegliere un numero non presente nella lista.

Questo nuovo numero non è chiaramente nella lista e Cantor aveva trovato una contraddizione – Cantor ha dimostrato che non si può mai fare una corrispondenza uno a uno tra i numeri naturali e i numeri reali nell’intervallo (0,1). Cantor aveva dimostrato che la dimensione dei numeri reali è più grande della dimensione dei numeri naturali! I numeri reali non sono numerabili! Ci sono diverse dimensioni dell’infinito!

In conclusione, la risposta alla domanda su quale sia il numero più grande del mondo non è semplice. In poche parole, non esiste un numero più grande, si può continuare a contare all’infinito. Ma si possono anche trovare due gruppi di numeri – entrambi di dimensioni infinite, ma anche di dimensioni diverse l’uno dall’altro. È davvero incredibile pensarci!

Il numero più grande: Ulteriori letture

Questo articolo ha solo iniziato a scalfire la superficie di questo affascinante e sbalorditivo argomento. Se vuoi leggere di più, prova ‘The Continuum Hypothesis’ in Plus Magazine. Se scegli di studiare matematica a livello di laurea, avrai la possibilità di studiare la cosiddetta teoria degli insiemi, che copre in modo più dettagliato gli argomenti trattati in questo articolo.

Articolo di Hazel Lewis