I logaritmi dei numeri negativi non sono definiti nei numeri reali, nello stesso modo in cui le radici quadrate dei numeri negativi non sono definite nei numeri reali. Se ci si aspetta di trovare il logaritmo di un numero negativo, una risposta di “non definito” è sufficiente nella maggior parte dei casi.
È possibile valutarne uno, tuttavia, la risposta sarà un numero complesso. (un numero della forma #a + bi#, dove #i = sqrt(-1)#)
Se hai familiarità con i numeri complessi e ti senti a tuo agio a lavorare con essi, allora continua a leggere.
Primo, iniziamo con un caso generale:
#log_b (-x) = ?#
Utilizzeremo la regola del cambio di base e convertiremo in logaritmi naturali, per rendere le cose più facili in seguito:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Nota che #ln(-x)# è la stessa cosa di #ln(-1 * x)#. Possiamo sfruttare la proprietà di addizione dei logaritmi, e separare questa parte in due log separati:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Ora l’unico problema è capire cosa sia #ln(-1)#. Potrebbe sembrare una cosa impossibile da valutare all’inizio, ma c’è un’equazione abbastanza famosa conosciuta come Identità di Eulero che può aiutarci.
L’Identità di Eulero afferma:
#e^(ipi) = -1#
Questo risultato viene dalle espansioni in serie di potenza di seno e coseno. (Non lo spiegherò troppo a fondo, ma se siete interessati, c’è una bella pagina qui che spiega un po’ di più)
Per ora, prendiamo semplicemente il log naturale di entrambi i lati dell’identità di Eulero:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Semplificato:
#ipi = ln(-1)#
Quindi, ora che sappiamo cos’è #ln(-1)#, possiamo sostituire di nuovo nella nostra equazione:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Ora avete una formula per trovare i log di numeri negativi. Quindi, se vogliamo valutare qualcosa come #log_2 10#, possiamo semplicemente inserire alcuni valori:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#approx 3.3219 + 4.5324i#