Logica Simbolica
Michael Genesereth
Dipartimento di Scienze Informatiche
Stanford University
Anche se è possibile insegnare la logica usando solo la lingua inglese, questo è problematico. Le frasi in lingua naturale possono essere complesse; possono essere ambigue; e non riuscire a capire il significato di una frase può portare ad errori nel ragionamento.
Anche frasi molto semplici possono essere problematiche. Qui vediamo due frasi grammaticalmente legali. Sono uguali in tutto tranne che nell’ultima parola, ma la loro struttura è completamente diversa. Nella prima, il verbo principale è blossoms, mentre nella seconda blossoms è un sostantivo e il verbo principale è sank.
I ciliegi fioriscono in primavera.
I ciliegi fioriscono in primavera sank.
Come altro esempio di complessità grammaticale, considerate il seguente estratto tratto dal contratto di locazione dell’Università del Michigan. La frase in questo caso è sufficientemente lunga e la struttura grammaticale sufficientemente complessa che le persone devono spesso leggerla più volte per capire esattamente cosa dice.
L’Università può risolvere questo contratto di locazione quando il locatario, avendo fatto domanda e sottoscritto questo contratto di locazione in anticipo sull’iscrizione, non è idoneo ad iscriversi o non riesce ad iscriversi all’Università o lascia l’Università in qualsiasi momento prima della scadenza del presente contratto, o per la violazione di qualsiasi disposizione di questo contratto di locazione, o per la violazione di qualsiasi regolamento dell’Università relativo alle sale residenti, o per motivi di salute, fornendo allo studente un avviso scritto di questa risoluzione 30 giorni prima della data effettiva della risoluzione, a meno che la vita, l’incolumità fisica o la proprietà siano in pericolo, il locatario sia coinvolto nella vendita o nell’acquisto di sostanze controllate in violazione delle leggi federali, statali o locali, o il locatario non sia più iscritto come studente, o il locatario sia coinvolto nell’uso o nel possesso di armi da fuoco, esplosivi, liquidi infiammabili, fuochi d’artificio o altre armi pericolose nell’edificio, o dia un falso allarme, nei quali casi sarebbe sufficiente un preavviso massimo di 24 ore.
Come esempio di ambiguità, supponiamo che io scriva la frase C’è una ragazza nella stanza con un telescopio. Vedi la figura 6 per due possibili significati di questa frase. Sto dicendo che c’è una ragazza in una stanza che contiene un telescopio? O sto dicendo che c’è una ragazza nella stanza e sta tenendo un telescopio?
Figura 6 – C’è una ragazza nella stanza con un telescopio.
Tali complessità e ambiguità possono a volte essere divertenti se portano a interpretazioni che l’autore non intendeva. Vedi gli esempi qui sotto per alcuni famigerati titoli di giornale con interpretazioni multiple. L’uso di un linguaggio formale elimina tali ambiguità involontarie (e, nel bene e nel male, evita anche qualsiasi umorismo involontario).
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Crowds Rushing to See Pope Trample 6 to Death Journal Star, Peoria, 1980
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Pollo fritto cotto nel microonde vince il viaggio The Oregonian, Portland, 1981
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Come illustrazione degli errori che sorgono nel ragionamento con frasi in linguaggio naturale, consideriamo i seguenti esempi. Nel primo, usiamo la transitività della relazione migliore per derivare una conclusione sulla qualità relativa di champagne e soda dalla qualità relativa di champagne e birra e dalla qualità relativa di birra e soda. Fin qui tutto bene.
Lo champagne è migliore della birra.
La birra è migliore della soda.
Quindi, lo champagne è migliore della soda.
Ora, consideriamo cosa succede quando applichiamo la stessa regola di transitività nel caso illustrato sotto. La forma dell’argomento è la stessa di prima, ma la conclusione è un po’ meno credibile. Il problema in questo caso è che l’uso di niente qui è sintatticamente simile all’uso di birra nell’esempio precedente, ma in inglese significa qualcosa di completamente diverso.
Bad sex is better than nothing.
Niente è meglio del buon sesso.
Quindi, il cattivo sesso è meglio del buon sesso.
La logica simbolica elimina queste difficoltà attraverso l’uso di un linguaggio formale per codificare le informazioni. Date la sintassi e la semantica di questo linguaggio formale, possiamo dare una definizione precisa della nozione di conclusione logica. Inoltre, possiamo stabilire precise regole di ragionamento che producono tutte e solo conclusioni logiche.
In questo senso, c’è una forte analogia tra i metodi della Logica Formale e quelli dell’algebra delle scuole superiori. Per illustrare questa analogia, si consideri il seguente problema di algebra.
Xavier ha tre volte l’età di Yolanda. L’età di Xavier e l’età di Yolanda sommano a dodici. Quanti anni hanno Xavier e Yolanda?
In genere, il primo passo per risolvere un problema del genere è esprimere le informazioni sotto forma di equazioni. Se lasciamo che x rappresenti l’età di Xavier e y l’età di Yolanda, possiamo catturare le informazioni essenziali del problema come mostrato qui sotto.
x – 3y = 0
x + y = 12
Utilizzando i metodi dell’algebra, possiamo poi manipolare queste espressioni per risolvere il problema. Prima sottraiamo la seconda equazione dalla prima.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
In seguito, dividiamo ogni lato dell’equazione risultante per -4 per ottenere un valore per y. Poi sostituendo di nuovo in una delle equazioni precedenti, otteniamo un valore per x.
x = 9
y = 3
Ora, considera il seguente problema logico.
Se Mary ama Pat, allora Mary ama Quincy. Se è lunedì e piove, allora Mary ama Pat o Quincy. Se è lunedì e piove, Mary ama Quincy?
Come per il problema di algebra, il primo passo è la formalizzazione. Sia p la possibilità che Mary ami Pat; sia q la possibilità che Mary ami Quincy; sia m la possibilità che sia lunedì; e sia r la possibilità che stia piovendo.
Con queste abbreviazioni, possiamo rappresentare le informazioni essenziali di questo problema con le seguenti frasi logiche. La prima dice che p implica q, cioè se Mary ama Pat, allora Mary ama Quincy. La seconda dice che m e r implica p o q, cioè se è lunedì e piove, allora Mary ama Pat o Mary ama Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
Come nell’algebra, La logica formale definisce alcune operazioni che possiamo usare per manipolare le espressioni. L’operazione mostrata qui sotto è una variante di ciò che si chiama Risoluzione Proposizionale. Le espressioni sopra la linea sono le premesse della regola, e l’espressione sotto è la conclusione.
| p1 ∧ … ∧ pk | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql |
| r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ … ∨ sn |
| p1 ∧ … ∧ pk ∧ r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql ∨ s1 ∨ … ∨ sn |
Ci sono due elaborazioni di questa operazione. (1) Se una proposizione a sinistra di una frase è la stessa di una proposizione a destra dell’altra frase, va bene eliminare i due simboli, con la condizione che solo una di queste coppie può essere eliminata. (2) Se una costante è ripetuta sullo stesso lato di una singola frase, tutte le occorrenze tranne una possono essere eliminate.
Possiamo usare questa operazione per risolvere il problema della vita sentimentale di Maria. Guardando le due premesse qui sopra, notiamo che p si verifica sul lato sinistro di una frase e sul lato destro dell’altra. Di conseguenza, possiamo annullare la p e ricavare così la conclusione che, se è lunedì e piove, allora Mary ama Quincy o Mary ama Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
Cancellando il simbolo ripetuto a destra arriviamo alla conclusione che, se è lunedì e piove, allora Maria ama Quincy.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Questo esempio è interessante in quanto mostra il nostro linguaggio formale per codificare l’informazione logica. Come con l’algebra, usiamo simboli per rappresentare aspetti rilevanti del mondo in questione, e usiamo operatori per collegare questi simboli al fine di esprimere informazioni sulle cose che quei simboli rappresentano.
L’esempio introduce anche una delle operazioni più importanti nella Logica Formale, cioè la Risoluzione (in questo caso una forma ristretta di Risoluzione). La risoluzione ha la proprietà di essere completa per un’importante classe di problemi logici, cioè è l’unica operazione necessaria per risolvere qualsiasi problema della classe.