Leggi di potenza: Come le relazioni non lineari amplificano i risultati

Definire una legge di potenza

Considera una persona che inizia a fare sollevamento pesi per la prima volta. Ma man mano che investono più tempo, scoprono che per ogni sessione di allenamento, la loro forza aumenta in modo sorprendente.

Per un po’, fanno enormi miglioramenti. Alla fine, però, i loro progressi rallentano. All’inizio, potevano aumentare la loro forza anche del 10% per sessione; ora ci vogliono mesi per migliorare anche dell’1%. Forse ricorrono all’assunzione di farmaci per migliorare le prestazioni o si allenano più spesso. La loro motivazione viene meno, e si ritrovano a farsi male, senza alcun cambiamento reale nella quantità di peso che possono sollevare.

Ora, immaginiamo che il nostro sollevatore di pesi frustrato decida invece di dedicarsi alla corsa. Succede qualcosa di simile. Mentre le prime corse sono incredibilmente difficili, la resistenza della persona aumenta rapidamente con il passare di ogni settimana, fino a quando non si stabilizza e i rendimenti decrescenti iniziano di nuovo.

Entrambe queste situazioni sono esempi di leggi di potenza – una relazione tra due cose in cui un cambiamento in una cosa può portare ad un grande cambiamento nell’altra, indipendentemente dalle quantità iniziali. In entrambi i nostri esempi, un piccolo investimento di tempo all’inizio dello sforzo porta ad un grande aumento delle prestazioni.

Le leggi di potenza sono interessanti perché rivelano correlazioni sorprendenti tra fattori disparati. Come modello mentale, le leggi di potenza sono versatili, con numerose applicazioni in diversi campi della conoscenza.

Se parti di questo post sembrano intimidatorie per i non matematici, abbiate pazienza. Capire la matematica dietro le leggi di potenza è utile per comprendere le loro numerose applicazioni. Investite un po’ di tempo nella lettura e raccogliete il valore – che è di per sé un esempio di legge di potenza!

Una legge di potenza è spesso rappresentata da un’equazione con un esponente:

Y=MX^B

Ogni lettera rappresenta un numero. Y è una funzione (il risultato); X è la variabile (la cosa che si può cambiare); B è l’ordine di scala (l’esponente), e M è una costante (immutabile).

Se M è uguale a 1, l’equazione è allora Y=X^B. Se B=2, l’equazione diventa Y=X^2 (Y=X al quadrato). Se X è 1, anche Y è 1. Ma se X=2, allora Y=4; se X=3, allora Y=9, e così via. Un piccolo cambiamento nel valore di X porta ad un cambiamento proporzionalmente grande nel valore di Y.

B=1 è conosciuta come la legge di scala lineare.

Per raddoppiare la ricetta di una torta, è necessario il doppio della farina. Per guidare il doppio ci vorrà il doppio del tempo. (A meno che non abbiate dei bambini, nel qual caso dovete tenere conto delle pause per il bagno che apparentemente hanno poco a che fare con la distanza). Le relazioni lineari, in cui il doppio della grandezza richiede il doppio della quantità, sono semplici e intuitive.

Le relazioni lineari sono più complicate. In questi casi, non c’è bisogno del doppio del valore originale per ottenere il doppio dell’aumento di qualche caratteristica misurabile. Per esempio, un animale che è il doppio di noi richiede solo circa il 75% in più di cibo rispetto a noi. Questo significa che su una base per unità di grandezza, gli animali più grandi sono più efficienti dal punto di vista energetico di quelli più piccoli. Come gli animali diventano più grandi, l’energia richiesta per sostenere ogni unità diminuisce.

Una delle caratteristiche di un sistema complesso è che il comportamento del sistema differisce dalla semplice somma delle sue parti. Questa caratteristica è chiamata comportamento emergente. “In molti casi”, scrivono Geoffrey West in Scale: The Universal Laws of Growth, Innovation, Sustainability, and the Pace of Life in Organisms, Cities, Economies, and Companies, “il tutto sembra assumere una vita propria, quasi dissociata dalle caratteristiche specifiche dei suoi singoli elementi costitutivi.”

Questo risultato collettivo, in cui un sistema manifesta caratteristiche significativamente diverse da quelle risultanti dalla semplice somma di tutti i contributi delle sue singole parti costitutive, è chiamato comportamento emergente.

Quando ci proponiamo di capire un sistema complesso, il nostro intuito ci dice di scomporlo nei suoi pezzi componenti. Ma questo è un pensiero lineare, e spiega perché gran parte del nostro pensiero sulla complessità fallisce. Piccoli cambiamenti in un sistema complesso possono causare improvvisi e grandi cambiamenti. Piccoli cambiamenti causano cascate tra le parti collegate, come far cadere la prima tessera del domino in una lunga fila.

Torniamo all’esempio del nostro ipotetico sollevatore di pesi diventato corridore. Man mano che passano più tempo sulla strada, sorgeranno naturalmente dei vincoli al loro progresso.

Ricordiamo la nostra equazione esponenziale: Y=MX^B. Provate ad applicarla al corridore. (Semplificheremo la corsa, ma non esageriamo.)

Y è la distanza che il corridore può percorrere prima di esaurirsi. Questo è ciò che stiamo cercando di calcolare. M, la costante, rappresenta la loro capacità di correre: una combinazione della loro dotazione naturale e della loro storia di allenamento. (Pensatela in questo modo: Il campione olimpico Usain Bolt ha un alto M; il regista Woody Allen ha un basso M.)

Questo ci lascia con il termine finale: X^B. La variabile X rappresenta la cosa su cui abbiamo il controllo: in questo caso, il nostro chilometraggio di allenamento. Se B, l’esponente, è compreso tra 0 e 1, allora la relazione tra X e Y – tra il chilometraggio di allenamento e la resistenza – diventa progressivamente meno proporzionale. Basta inserire qualche numero per vedere l’effetto.

Per semplicità, poniamo M a 1. Se B=0,5 e X=4, allora Y=2. Quattro miglia su strada danno all’atleta la capacità di correre due miglia alla volta.

Aumenta X a 16, e Y aumenta solo a 4. Il corridore deve mettere quattro volte il chilometraggio su strada per raddoppiare semplicemente la sua resistenza alla corsa.

Ecco il bello: Sia con la corsa che con il sollevamento pesi, quando aumentiamo X, è probabile che l’esponente B diminuisca! Quadruplicare il nostro chilometraggio di allenamento da 16 a 64 miglia è improbabile che raddoppi la nostra resistenza di nuovo. Potrebbe essere necessario un aumento di 10 volte del chilometraggio per farlo. Alla fine, il rapporto tra il chilometraggio di allenamento e la resistenza diventerà quasi infinito.

Conosciamo questo stato, naturalmente, come rendimento decrescente: il punto in cui più input produce progressivamente meno output. Non solo la relazione tra il chilometraggio di allenamento e la resistenza non è lineare all’inizio, ma diventa anche meno lineare man mano che aumentiamo il nostro allenamento.

E che dire degli esponenti negativi?

La cosa diventa ancora più interessante. Se B=-0,5 e X=4, allora Y=0,5. Quattro miglia sulla strada ci danno mezzo miglio di resistenza. Se X viene portato a 16, Y scende a 0,25. Più allenamento, meno resistenza! Questo è simile a qualcuno che fa troppo chilometraggio, troppo presto: l’allenamento è meno che utile quando le lesioni si accumulano.

Con i numeri negativi, più X aumenta, più Y si riduce. Questa relazione è nota come legge di potenza inversa. B=-2, per esempio, è nota come legge dell’inverso del quadrato ed è un’equazione importante in fisica.

La relazione tra la gravità e la distanza segue una legge di potenza inversa. G è la costante gravitazionale; è la costante nella legge di gravitazione di Newton, che mette in relazione la gravità con le masse e la separazione delle particelle, pari a:

6,67 × 10-11 N m2 kg-2

Qualsiasi forza che si irradia da un singolo punto – compreso il calore, l’intensità della luce e le forze magnetiche ed elettriche – segue la legge del quadrato inverso. A 1m di distanza da un fuoco, si sente 4 volte più calore che a 2m, e così via.

Leggi di potenza di ordine superiore

Quando B è un numero intero positivo (un numero intero maggiore di zero), ci sono nomi per le leggi di potenza.

Quando B è uguale a 1, abbiamo una relazione lineare, come abbiamo discusso sopra. Questa è anche conosciuta come una legge di potenza del primo ordine.

Le cose diventano davvero interessanti dopo questo.

Quando B è 2, abbiamo una legge di potenza del secondo ordine. Un grande esempio di questo è l’energia cinetica. Energia cinetica = 1/2 mv^2

Quando B è 3, abbiamo una legge di potenza del terzo ordine. Un esempio di questo è la potenza convertita dal vento in energia di rotazione.

Potenza disponibile = ½ (densità dell’aria)( πr^2)(velocità del vento^3)(coefficiente di potenza)

(C’è un limite naturale qui. Albert Betz concluse nel 1919 che le turbine eoliche non possono convertire più del 59,3% dell’energia cinetica del vento in energia meccanica. Questo numero è chiamato limite di Betz e rappresenta il coefficiente di potenza di cui sopra.)

La legge della radiazione di calore è una legge di potenza del quarto ordine. Derivata prima dal fisico austriaco Josef Stefan nel 1879 e separatamente dal fisico austriaco Ludwig Boltzmann, la legge funziona così: l’energia termica radiante emessa da un’area unitaria in un secondo è uguale alla costante di proporzionalità (la costante di Stefan-Boltzmann) per la temperatura assoluta alla quarta potenza.

Esiste solo una legge di potenza con esponente variabile, ed è considerata una delle forze più potenti dell’universo. È anche la più incompresa. Noi la chiamiamo “compounding”. La formula si presenta così:

Valore Futuro = (Valore Attuale)(1+i)^n

dove i è il tasso di interesse, e n è il numero di anni.

A differenza delle altre equazioni, la relazione tra X e Y è potenzialmente illimitata. Finché B è positivo, Y aumenterà come fa X.

Le leggi di potenza non intere (dove B è una frazione, come nel nostro esempio precedente) sono anche di grande utilità per i fisici. Formule in cui B=0,5 sono comuni.

Immaginate un’auto che viaggia a una certa velocità. Si applica una legge di potenza non intera. V è la velocità dell’auto, P è la benzina bruciata al secondo per raggiungere quella velocità, e A è la resistenza dell’aria. Per andare due volte più veloce, l’auto deve usare 4 volte più benzina, e per andare 3 volte più veloce, deve usare 9 volte più benzina. La resistenza dell’aria aumenta con l’aumentare della velocità, e questo è il motivo per cui le auto più veloci usano quantità così ridicole di benzina. Potrebbe sembrare logico pensare che un’auto che passa da 40 miglia all’ora a 50 miglia all’ora usi un quarto di carburante in più. Questo non è corretto, però, perché la relazione tra la resistenza dell’aria e la velocità è essa stessa una legge di potenza.

Un altro esempio di legge di potenza è l’area di un quadrato. Raddoppia la lunghezza di due lati paralleli e l’area si quadruplica. Fate lo stesso per un cubo 3D, e l’area aumenta di un fattore otto. Non importa se la lunghezza del quadrato passa da 1cm a 2cm, o da 100m a 200m; l’area quadruplica comunque. Abbiamo tutti familiarità con le leggi di potenza del secondo ordine (o del quadrato). Questo nome deriva dai quadrati poiché la relazione tra lunghezza e area riflette il modo in cui le leggi di potenza del secondo ordine cambiano un numero. Le leggi di potenza del terzo ordine (o cubiche) sono chiamate allo stesso modo per la loro relazione con i cubi.

Utilizzare le leggi di potenza nella nostra vita

Ora che abbiamo superato la parte complicata, diamo un’occhiata a come le leggi di potenza compaiono in molti campi della conoscenza. La maggior parte delle carriere implica una loro comprensione, anche se potrebbe non essere così ovvio.

Il potere dietro la capitalizzazione

La capitalizzazione è uno dei nostri modelli mentali più importanti ed è assolutamente vitale da capire per gli investimenti, lo sviluppo personale, l’apprendimento e altre aree cruciali della vita.

In economia, calcoliamo l’interesse composto usando un’equazione con queste variabili: P è la somma originale di denaro. P’ è la somma di denaro risultante, r è il tasso di interesse annuale, n è la frequenza di capitalizzazione e t è la durata del tempo. Usando un’equazione, possiamo illustrare il potere della capitalizzazione.

Se una persona deposita $1000 in una banca per cinque anni, ad un tasso di interesse trimestrale del 4%, l’equazione diventa questa:

Valore futuro = Valore attuale * ((1 + tasso di interesse trimestrale) ^ numero di trimestri)

Questa formula può essere usata per calcolare quanti soldi ci saranno sul conto dopo cinque anni. La risposta è $2.220,20.

L’interesse composto è una legge di potenza perché la relazione tra la quantità di tempo in cui una somma di denaro viene lasciata in un conto e l’importo accumulato alla fine è non lineare.

In A Random Walk Down Wall Street, Burton Malkiel fa l’esempio di due fratelli, William e James. Iniziando a 20 anni e fermandosi a 40, William investe 4.000 dollari all’anno. Nel frattempo, James investe lo stesso importo all’anno tra i 40 e i 65 anni. Quando William ha 65 anni, ha investito meno soldi di suo fratello, ma li ha lasciati composti per 25 anni. Di conseguenza, quando entrambi i fratelli vanno in pensione, William ha il 600% in più di denaro rispetto a James – un divario di 2 milioni di dollari. Una delle scelte finanziarie più intelligenti che possiamo fare è iniziare a risparmiare il più presto possibile: sfruttando le leggi di potenza, aumentiamo l’esponente il più possibile.

L’interesse composto può aiutarci a raggiungere la libertà finanziaria e la ricchezza, senza la necessità di un grande reddito annuale. I membri del movimento per l’indipendenza finanziaria (come il blogger Mr. Money Mustache) sono esempi viventi di come possiamo applicare le leggi del potere alle nostre vite.

Già nel 1800, Robert G. Ingersoll sottolineava l’importanza dell’interesse composto:

Un dollaro ad interesse composto, al ventiquattro per cento, per cento anni, produrrebbe una somma pari al nostro debito nazionale. L’interesse mangia notte e giorno, e più mangia e più ha fame. Il contadino in debito, che giace sveglio di notte, può, se ascolta, sentirlo rosicchiare. Se non deve nulla, può sentire il suo grano crescere. Esci dai debiti il più presto possibile. Hai sostenuto abbastanza a lungo l’avarizia oziosa e l’economia pigra.

Compounding può applicarsi ad aree oltre la finanza – sviluppo personale, salute, apprendimento, relazioni e altro. Per ogni area, un piccolo input può portare ad un grande output, e i risultati si costruiscono su se stessi.

Apprendimento lineare delle lingue

Quando impariamo una nuova lingua, è sempre una buona idea iniziare ad imparare le 100 parole più usate.

In tutte le lingue conosciute, una piccola percentuale di parole costituisce la maggioranza dell’uso. Questo è noto come legge di Zipf, dal nome di George Kingsley Zipf, che per primo identificò il fenomeno. La parola più usata in una lingua può costituire fino al 7% di tutte le parole usate, mentre la seconda parola più usata è usata la metà, e così via. Solo 135 parole possono formare insieme la metà di una lingua (come usata dai madrelingua).

Il motivo per cui la legge di Zipf sia vera è sconosciuto, anche se il concetto è logico. Molte lingue includono un gran numero di termini specialistici che sono raramente necessari (compresi i termini legali o di anatomia). Un piccolo cambiamento nella classifica di frequenza di una parola significa un enorme cambiamento nella sua utilità.

Comprendere la legge di Zipf è una componente centrale dell’apprendimento accelerato delle lingue. Ogni nuova parola che impariamo dalle 100 più comuni avrà un enorme impatto sulla nostra capacità di comunicare. Man mano che impariamo parole meno comuni, il rendimento diminuisce. Se ogni parola di una lingua fosse elencata in ordine di frequenza d’uso, più ci spostiamo in basso nella lista, meno utile sarà una parola.

Le leggi del potere negli affari, spiegate da Peter Thiel

Peter Thiel, il fondatore di PayPal (nonché uno dei primi investitori in Facebook e Palantir), considera le leggi del potere un concetto cruciale da comprendere per tutti gli uomini d’affari. Nel suo fantastico libro, Zero to One, Thiel scrive:

Infatti, il singolo modello più potente che ho notato è che le persone di successo trovano valore in luoghi inaspettati, e lo fanno pensando al business dai primi principi invece che dalle formule.

E:

Nel 1906, l’economista Vilfredo Pareto scoprì quello che divenne il “Principio di Pareto”, o la regola dell’80-20, quando notò che il 20% delle persone possedeva l’80% della terra in Italia – un fenomeno che trovò tanto naturale quanto il fatto che il 20% dei piselli nel suo giardino produceva l’80% dei piselli. Questo modello straordinariamente crudo, quando pochi superano radicalmente tutti i rivali, ci circonda ovunque nel mondo naturale e sociale. I terremoti più distruttivi sono molte volte più potenti di tutti i terremoti più piccoli messi insieme. Le città più grandi fanno scomparire tutte le semplici città messe insieme. E le imprese monopolistiche catturano più valore di milioni di concorrenti indifferenziati. Qualunque cosa Einstein abbia fatto o non abbia detto, la legge di potenza – così chiamata perché le equazioni esponenziali descrivono distribuzioni gravemente disuguali – è la legge dell’universo. Definisce il nostro ambiente in modo così completo che di solito non lo vediamo nemmeno.

… n venture capital, dove gli investitori cercano di trarre profitto dalla crescita esponenziale nelle aziende in fase iniziale, alcune aziende raggiungono un valore esponenzialmente maggiore di tutte le altre. … non viviamo in un mondo normale; viviamo sotto una legge di potenza.

… Il più grande segreto nel venture capital è che il miglior investimento in un fondo di successo equivale o supera l’intero resto del fondo messo insieme.

Questo implica due regole molto strane per i VC. Primo, investire solo in aziende che hanno il potenziale per restituire il valore dell’intero fondo. … Questo porta alla regola numero due: poiché la regola numero uno è così restrittiva, non ci possono essere altre regole.

…see non è un portafoglio: non per un fondatore di startup, e non per qualsiasi individuo. Un’imprenditrice non può “diversificare” se stessa; non si possono gestire decine di aziende allo stesso tempo e poi sperare che una di esse funzioni bene. Meno ovvio ma altrettanto importante, un individuo non può diversificare la propria vita tenendo in riserva decine di carriere ugualmente possibili.

Thiel insegna una classe chiamata Startup a Stanford, dove martella il valore della comprensione delle leggi di potenza. Nella sua classe, impartisce copiosa saggezza. Dagli appunti di Blake Masters sulla lezione 7:

Considera un prototipo di fondo di rischio di successo. Un certo numero di investimenti vanno a zero in un periodo di tempo. Questi tendono ad accadere prima piuttosto che dopo. Gli investimenti che hanno successo lo fanno su una sorta di curva esponenziale. Somma per tutta la vita di un portafoglio e ottieni una curva J. I primi investimenti falliscono. Devi pagare le commissioni di gestione. Ma poi avviene la crescita esponenziale, almeno in teoria. Dato che si inizia sott’acqua, la grande domanda è quando si arriva sopra la linea di galleggiamento. Molti fondi non ci arrivano mai.

Per rispondere a questa grande domanda bisogna porne un’altra: com’è la distribuzione dei rendimenti nei fondi a rischio? La risposta ingenua è solo quella di classificare le aziende dalle migliori alle peggiori in base al loro rendimento in multipli dei dollari investiti. Le persone tendono a raggruppare gli investimenti in tre buche. Le cattive aziende vanno a zero. Quelle mediocri fanno forse 1x, quindi non si perde molto o si guadagna molto. E poi le grandi aziende fanno forse 3-10x.

Ma questo modello manca l’intuizione chiave che i rendimenti reali sono incredibilmente distorti. Più un VC capisce questo modello asimmetrico, meglio è per il VC. I cattivi VC tendono a pensare che la linea tratteggiata sia piatta, cioè che tutte le aziende sono create uguali, e alcune falliscono, girano, o crescono. In realtà si ottiene una distribuzione a legge di potenza.

Thiel spiega come gli investitori possono applicare il modello mentale delle leggi di potenza (più dagli appunti di Masters sulla Classe 7):

…Data una grande distribuzione a legge di potenza, vuoi essere abbastanza concentrato. … Semplicemente non ci sono molti business su cui si può avere l’alto grado di convinzione richiesto. Un modello migliore è quello di investire in forse 7 o 8 aziende promettenti da cui si pensa di poter ottenere un rendimento 10x. …

Nonostante sia radicato nella matematica delle scuole medie, il pensiero esponenziale è difficile. Viviamo in un mondo in cui normalmente non sperimentiamo nulla in modo esponenziale. La nostra esperienza di vita generale è piuttosto lineare. Sottovalutiamo enormemente le cose esponenziali.

Consiglia anche di non fare troppo affidamento sulle leggi di potenza come strategia (un’affermazione che dovrebbe essere tenuta a mente per tutti i modelli mentali). Dalle note di Masters:

Non bisogna essere meccanici su questa euristica, o trattarla come una qualche strategia di investimento immutabile. Ma in realtà si verifica abbastanza bene, quindi come minimo ti costringe a pensare alla distribuzione della legge di potenza.

Comprendere gli esponenti e le distribuzioni della legge di potenza non è solo per capire il VC. Ci sono anche importanti applicazioni personali. Molte cose, come le decisioni chiave della vita o l’avvio di attività, risultano in distribuzioni simili.

Thiel spiega poi perché i fondatori dovrebbero concentrarsi su un flusso di entrate chiave, piuttosto che cercare di costruirne diversi uguali:

Anche all’interno di un singolo business, c’è probabilmente una sorta di legge di potenza su cosa lo guiderà. È preoccupante se una startup insiste sul fatto che farà soldi in molti modi diversi. La legge di distribuzione delle entrate dice che una fonte di entrate dominerà tutto il resto.

Per esempio, se sei un imprenditore che apre una caffetteria, avrai un sacco di modi per fare soldi. Puoi vendere caffè, torte, quadri, merchandising e altro. Ma ognuna di queste cose non contribuirà al tuo successo in modo uguale. Mentre c’è valore nel processo di scoperta, una volta che hai trovato la variabile che conta di più, dovresti dedicare più tempo a quella e meno alle altre. L’importanza di trovare questa variabile non può essere sopravvalutata.

Riconosce anche che le leggi di potenza sono uno dei grandi segreti del successo degli investimenti. Dagli appunti di Masters sulla lezione 11:

Ad un livello, i segreti dell’anticompetizione, della legge del potere e della distribuzione sono tutti segreti di natura. Ma sono anche segreti nascosti dalle persone. Questo è fondamentale da ricordare. Supponiamo che tu stia facendo un esperimento in un laboratorio. Stai cercando di scoprire un segreto naturale. Ma ogni notte un’altra persona entra nel laboratorio e incasina i tuoi risultati. Non capirai cosa sta succedendo se ti limiti a pensare al lato naturale delle cose. Non basta trovare un esperimento interessante e provare a farlo. Devi capire anche la parte umana.

… Sappiamo che, secondo il segreto della legge del potere, le aziende non sono distribuite in modo uniforme. La distribuzione tende ad essere bimodale; ce ne sono alcune grandi, e poi ce ne sono molte che non funzionano affatto. Ma capire questo non è sufficiente. C’è una grande differenza tra capire il segreto della legge di potenza in teoria ed essere in grado di applicarlo in pratica.

La chiave di tutti i modelli mentali è conoscere i fatti ed essere in grado di usare il concetto. Come disse George Box, “tutti i modelli sono falsi ma alcuni sono utili”. Una volta afferrate le basi, il miglior passo successivo è iniziare a capire come applicarle.

La metafora di una persona invisibile che sabota i risultati di laboratorio è un’eccellente metafora di come i pregiudizi cognitivi e le scorciatoie offuscano il nostro giudizio.

Le leggi naturali del potere

Chiunque abbia tenuto molti animali domestici avrà notato il legame tra le dimensioni di un animale e la sua durata di vita. Gli animali piccoli, come topi e criceti, tendono a vivere per un anno o due. Quelli più grandi, come cani e gatti, possono vivere fino a 10-20 anni, o anche di più in rari casi. Scalando ancora di più, alcune balene possono vivere per 200 anni. Si tratta di leggi di potenza.

I biologi hanno trovato chiari legami tra le dimensioni di un animale e il suo metabolismo. La legge di Kleiber (identificata da Max Kleiber) afferma che il tasso metabolico di un animale aumenta a tre quarti della potenza del peso (massa) dell’animale. Se un coniglio medio (2 kg) pesa cento volte più di un topo medio (20 g), il tasso metabolico del coniglio sarà 32 volte quello del topo. In altre parole, la struttura del coniglio è più efficiente. Tutto si riduce alla geometria dietro la loro massa.

Questo ci porta ad un’altra legge di potenza biologica: Gli animali più piccoli richiedono più energia per grammo di peso corporeo, il che significa che i topi mangiano circa la metà del loro peso corporeo in cibi densi ogni giorno. La ragione è che, in termini di percentuale di massa, gli animali più grandi hanno più struttura (ossa, ecc.) e meno riserve (riserve di grasso).

La ricerca ha illustrato come le leggi di potenza si applicano alla circolazione del sangue negli animali. Le unità terminali attraverso le quali l’ossigeno, l’acqua e le sostanze nutritive entrano nelle cellule dal flusso sanguigno sono della stessa dimensione in tutti gli animali. Solo il numero per animale varia. La relazione tra l’area totale di queste unità e la dimensione dell’animale è una legge di potenza del terzo ordine. Anche la distanza che il sangue percorre per entrare nelle cellule e il volume effettivo del sangue sono soggetti a leggi di potenza.

La legge del ritorno decrescente

Come abbiamo visto, un piccolo cambiamento in un’area può portare ad un enorme cambiamento in un’altra. Tuttavia, oltre un certo punto, i rendimenti decrescenti iniziano a diminuire e di più è peggio. Lavorare un’ora in più al giorno potrebbe significare fare di più, mentre lavorare tre ore in più probabilmente porterà a fare di meno a causa della stanchezza. Passare da uno stile di vita sedentario alla corsa due giorni a settimana può portare a un notevole miglioramento della salute, ma passare a sette giorni a settimana causerà lesioni. L’eccesso di zelo può trasformare un esponente positivo in un esponente negativo. Per un ristorante affollato, assumere un cuoco in più significherà servire più persone, ma assumere due nuovi cuochi potrebbe rovinare il proverbiale brodo.

Forse il rendimento decrescente più sottovalutato, quello che non vogliamo mai finire dalla parte sbagliata, è quello tra i soldi e la felicità.

In Davide e Golia, Malcolm Gladwell discute come i rendimenti decrescenti si riferiscono ai redditi familiari. La maggior parte delle persone presume che più soldi fanno, più felici saranno loro e le loro famiglie. Questo è vero – fino a un certo punto. Un reddito troppo basso per soddisfare i bisogni di base rende le persone infelici, portando a molti più problemi di salute fisica e mentale. Una persona che passa da 30.000 dollari l’anno a 40.000 dollari è probabile che sperimenti un drammatico aumento della felicità. Tuttavia, passare da 100.000 a 110.000 dollari porta a un cambiamento trascurabile nel benessere.

Gladwell scrive:

Gli studiosi che fanno ricerca sulla felicità suggeriscono che più soldi smettono di rendere le persone più felici a un reddito familiare di circa settantacinque mila dollari all’anno. Dopo di che, inizia quello che gli economisti chiamano “rendimenti marginali decrescenti”. Se la tua famiglia guadagna settantacinque mila dollari e il tuo vicino ne guadagna centomila, quei venticinquemila in più all’anno significano che il tuo vicino può guidare una macchina più bella e andare a mangiare un po’ più spesso. Ma non rende il tuo vicino più felice di te, o meglio attrezzato per fare le migliaia di piccole e grandi cose che fanno per essere un buon genitore.