Infinito

Infiniti matematici

Gli antichi greci esprimevano l’infinito con la parola apeiron, che aveva la connotazione di essere senza limiti, indefinito, non definito e senza forma. Una delle prime apparizioni dell’infinito in matematica riguarda il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato. Pitagora (580-500 a.C. circa) e i suoi seguaci inizialmente credevano che qualsiasi aspetto del mondo potesse essere espresso da una disposizione che coinvolgesse solo i numeri interi (0, 1, 2, 3,…), ma furono sorpresi di scoprire che la diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili – cioè, le loro lunghezze non possono essere entrambe espresse come multipli di numeri interi di qualsiasi unità condivisa (o metro). Nella matematica moderna questa scoperta viene espressa dicendo che il rapporto è irrazionale e che è il limite di una serie decimale infinita e non ripetitiva. Nel caso di un quadrato con lati di lunghezza 1, la diagonale è radice quadrata di√2, scritta come 1,414213562…, dove l’ellissi (…) indica una sequenza infinita di cifre senza schema.

Sia Platone (428/427-348/347 a.C.) che Aristotele (384-322 a.C.) condividevano la generale avversione greca per la nozione di infinito. Aristotele influenzò il pensiero successivo per più di un millennio con il suo rifiuto dell’infinito “effettivo” (spaziale, temporale o numerico), che distingueva dall’infinito “potenziale” di poter contare senza fine. Per evitare l’uso dell’infinito reale, Eudosso di Cnido (c. 400-350 a.C.) e Archimede (c. 285-212/211 a.C.) svilupparono una tecnica, più tardi nota come metodo dell’esaurimento, per cui un’area veniva calcolata dimezzando l’unità di misura in fasi successive fino a quando l’area rimanente era inferiore a un valore fisso (la regione rimanente era stata “esaurita”).

La questione dei numeri infinitamente piccoli portò alla scoperta del calcolo alla fine del 1600 da parte del matematico inglese Isaac Newton e del matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton introdusse la sua teoria dei numeri infinitamente piccoli, o infinitesimi, per giustificare il calcolo delle derivate, o pendenze. Per trovare la pendenza (cioè il cambiamento in y rispetto al cambiamento in x) per una linea che tocca una curva in un dato punto (x, y), trovò utile guardare il rapporto tra dy e dx, dove dy è un cambiamento infinitesimale in y prodotto dallo spostamento di una quantità infinitesimale dx da x. Gli infinitesimi furono pesantemente criticati, e gran parte della prima storia dell’analisi ruotava intorno agli sforzi per trovare una base alternativa e rigorosa per la materia. L’uso dei numeri infinitesimali ha finalmente guadagnato una solida base con lo sviluppo dell’analisi non standard da parte del matematico di origine tedesca Abraham Robinson negli anni ’60.

Un uso più diretto dell’infinito in matematica sorge quando si cerca di confrontare le dimensioni di insiemi infiniti, come l’insieme dei punti su una linea (numeri reali) o l’insieme dei numeri contati. I matematici sono rapidamente colpiti dal fatto che le intuizioni ordinarie sui numeri sono fuorvianti quando si parla di dimensioni infinite. I pensatori medievali erano consapevoli del fatto paradossale che segmenti di linea di varia lunghezza sembravano avere lo stesso numero di punti. Per esempio, disegnare due cerchi concentrici, uno con raggio doppio (e quindi con circonferenza doppia) dell’altro, come mostrato in figura. Sorprendentemente, ogni punto P sul cerchio esterno può essere accoppiato con un unico punto P′ sul cerchio interno disegnando una linea dal loro centro comune O a P ed etichettando la sua intersezione con il cerchio interno P′. L’intuizione suggerisce che il cerchio esterno dovrebbe avere il doppio dei punti del cerchio interno, ma in questo caso l’infinito sembra essere lo stesso del doppio dell’infinito. All’inizio del 1600, lo scienziato italiano Galileo Galilei affrontò questo e un simile risultato non intuitivo ora noto come paradosso di Galileo. Galileo dimostrò che l’insieme dei numeri contati poteva essere messo in una corrispondenza uno-a-uno con l’insieme apparentemente molto più piccolo dei loro quadrati. Allo stesso modo dimostrò che l’insieme dei numeri contati e i loro doppi (cioè l’insieme dei numeri pari) potevano essere accoppiati. Galileo concluse che “non possiamo parlare di quantità infinite come se fossero l’una maggiore o minore o uguale all’altra”. Tali esempi portarono il matematico tedesco Richard Dedekind nel 1872 a suggerire una definizione di un insieme infinito come uno che può essere messo in una relazione uno-a-uno con qualche sottoinsieme proprio.

La confusione sui numeri infiniti fu risolta dal matematico tedesco Georg Cantor a partire dal 1873. Per prima cosa Cantor dimostrò rigorosamente che l’insieme dei numeri razionali (frazioni) ha la stessa dimensione dei numeri contati; quindi, essi sono chiamati contati, o denumerabili. Naturalmente questo non fu un vero shock, ma più tardi nello stesso anno Cantor dimostrò il sorprendente risultato che non tutti gli infiniti sono uguali. Usando un cosiddetto “argomento diagonale”, Cantor dimostrò che la dimensione dei numeri contati è strettamente inferiore alla dimensione dei numeri reali. Questo risultato è noto come teorema di Cantor.

Per confrontare gli insiemi, Cantor ha prima distinto tra un insieme specifico e la nozione astratta della sua dimensione, o cardinalità. A differenza di un insieme finito, un insieme infinito può avere la stessa cardinalità di un sottoinsieme proprio di se stesso. Cantor ha usato un argomento diagonale per dimostrare che la cardinalità di qualsiasi insieme deve essere inferiore alla cardinalità del suo insieme di potenza, cioè l’insieme che contiene tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme dato. In generale, un insieme con n elementi ha un insieme di potenza con 2n elementi, e queste due cardinalità sono diverse anche quando n è infinito. Cantor chiamò le dimensioni dei suoi insiemi infiniti “cardinali transfiniti”. Le sue argomentazioni dimostrarono che esistono cardinali transfiniti di infinite dimensioni diverse (come i cardinali dell’insieme dei numeri contati e dell’insieme dei numeri reali).

I cardinali transfiniti includono l’aleph-null (la dimensione dell’insieme dei numeri interi), l’aleph-one (il prossimo infinito più grande), e il continuum (la dimensione dei numeri reali). Questi tre numeri sono anche scritti come ℵ0, ℵ1, e c, rispettivamente. Per definizione ℵ0 è minore di ℵ1, e per il teorema di Cantor ℵ1 è minore o uguale a c. Insieme a un principio noto come assioma della scelta, il metodo di prova del teorema di Cantor può essere usato per garantire una sequenza infinita di cardinali transfiniti che continuano oltre ℵ1 fino a numeri come ℵ2 e ℵℵ0.

Il problema del continuo è la questione di quale degli alefi è uguale alla cardinalità del continuo. Cantor ha congetturato che c = ℵ1; questo è noto come l’ipotesi del continuo di Cantor (CH). La CH può anche essere pensata come l’affermazione che qualsiasi insieme di punti sulla linea o deve essere conteggiabile (di dimensione minore o uguale a ℵ0) o deve avere una dimensione grande come l’intero spazio (essere di dimensione c).

All’inizio del 1900 fu sviluppata una teoria approfondita degli insiemi infiniti. Questa teoria è conosciuta come ZFC, che sta per Zermelo-Fraenkel set theory con l’assioma della scelta. La CH è nota per essere indecidibile sulla base degli assiomi della ZFC. Nel 1940 il logico di origine austriaca Kurt Gödel fu in grado di dimostrare che ZFC non può confutare CH, e nel 1963 il matematico americano Paul Cohen dimostrò che ZFC non può dimostrare CH. I teorici degli insiemi continuano ad esplorare modi per estendere gli assiomi di ZFC in modo ragionevole in modo da risolvere la CH. Lavori recenti suggeriscono che la CH potrebbe essere falsa e che la vera dimensione di c potrebbe essere l’infinito più grande ℵ2.