8.3 Modelli autoregressivi
In un modello di regressione multipla, prevediamo la variabile di interesse usando una combinazione lineare di predittori. In un modello di autoregressione, prevediamo la variabile di interesse usando una combinazione lineare di valori passati della variabile. Il termine autoregressione indica che si tratta di una regressione della variabile contro se stessa.
Quindi, un modello autoregressivo di ordine \(p\) può essere scritto come \dove \varepsilon_t\) è rumore bianco. Questo è come una regressione multipla ma con valori ritardati di \(y_t\) come predittori. Ci riferiamo a questo come un modello AR(\(p\)), un modello autoregressivo di ordine \(p\).
I modelli autoregressivi sono notevolmente flessibili nel gestire una vasta gamma di differenti modelli di serie temporali. Le due serie nella figura 8.5 mostrano serie da un modello AR(1) e un modello AR(2). Cambiando i parametri \(\phi_1,\punti,\phi_p\) si ottengono diversi modelli di serie temporali. La varianza del termine di errore \varepsilon_t\) cambierà solo la scala della serie, non i modelli.
Figura 8.5: Due esempi di dati da modelli autoregressivi con parametri diversi. A sinistra: AR(1) con \(y_t = 18 -0.8y_{t-1} + \varepsilon_t\). A destra: AR(2) con \(y_t = 8 + 1.3y_{t-1}-0.7y_{t-2} + \varepsilon_t\). In entrambi i casi, \(\varepsilon_t\) è un rumore bianco normalmente distribuito con media zero e varianza uno.
Per un modello AR(1):
- quando \(\phi_1=0\), \(y_t\) è equivalente al rumore bianco;
- quando \(\phi_1=1\) e \(c=0\), \(y_t\) è equivalente a una passeggiata casuale;
- quando \(\phi_1=1\) e \(c\ne0\), \(y_t\) è equivalente ad una passeggiata casuale con deriva;
- quando \(\phi_1<0\), \(y_t\) tende ad oscillare intorno alla media.
Di solito limitiamo i modelli autoregressivi ai dati stazionari, nel qual caso sono necessari alcuni vincoli sui valori dei parametri.
- Per un modello AR(1): \(-1 < \phi_1 < 1\).
- Per un modello AR(2): \(-1 < \phi_2 < 1\), \(\phi_1+\phi_2 < 1\), \(\phi_2-\phi_1 < 1\).
Quando \(p\ge3\), le restrizioni sono molto più complicate.