Gli elettroni sono un esempio di un tipo di particella chiamata fermione. Altri fermioni includono protoni e neutroni. Oltre alla loro carica e massa, gli elettroni hanno un’altra proprietà fondamentale chiamata spin. Una particella con spin si comporta come se avesse un momento angolare intrinseco. Questo fa sì che ogni elettrone abbia un piccolo dipolo magnetico. Il numero quantico di spin è la proiezione lungo un asse arbitrario (di solito indicato nei libri di testo come l’asse z) dello spin di una particella espresso in unità di h. Gli elettroni hanno spin ½, che può essere allineato in due modi possibili, di solito indicati come ‘spin up’ o ‘spin down’.
Tutti i fermioni hanno spin mezzo intero. Una particella che ha spin intero è chiamata bosone. I fotoni, che hanno spin 1, sono esempi di bosoni. Una conseguenza dello spin semintegrale dei fermioni è che questo impone un vincolo sul comportamento di un sistema che contiene più di un fermione.
Questo vincolo è il principio di esclusione di Pauli, che afferma che due fermioni non possono avere lo stesso insieme di numeri quantici. È per questa ragione che solo due elettroni possono occupare ogni livello energetico dell’elettrone – un elettrone può avere spin su e l’altro può avere spin giù, in modo che abbiano numeri quantici di spin diversi, anche se gli elettroni hanno la stessa energia.
Questi vincoli sul comportamento di un sistema di molti fermioni possono essere trattati statisticamente. Il risultato è che gli elettroni saranno distribuiti nei livelli di energia disponibili secondo la distribuzione di Fermi Dirac:
dove f(ε) è la probabilità di occupazione di uno stato di energia ε, kB è la costante di Boltzmann, μ (la lettera greca mu) è il potenziale chimico, e T è la temperatura in Kelvin.
La distribuzione descrive la probabilità di occupazione di uno stato quantico di energia E a una temperatura T. Se le energie degli stati di elettroni disponibili e la degenerazione degli stati (il numero di stati di energia degli elettroni che hanno la stessa energia) sono entrambi noti, questa distribuzione può essere usata per calcolare le proprietà termodinamiche dei sistemi di elettroni.
Allo zero assoluto il valore del potenziale chimico, μ, è definito come l’energia di Fermi. A temperatura ambiente il potenziale chimico per i metalli è praticamente uguale all’energia di Fermi – tipicamente la differenza è solo dell’ordine dello 0,01%. Non sorprende che il potenziale chimico per i metalli a temperatura ambiente sia spesso preso per essere l’energia di Fermi. Per un semiconduttore puro non drogato a temperatura finita, il potenziale chimico si trova sempre a metà strada tra la banda di valenza e la banda di conduzione. Tuttavia, come vedremo in una sezione successiva di questo TLP, il potenziale chimico nei semiconduttori estrinseci (drogati) ha una significativa dipendenza dalla temperatura.
Per comprendere qualitativamente il comportamento degli elettroni a temperatura finita nei metalli e nei semiconduttori puri non drogati, è chiaramente sufficiente trattare μ come una costante in prima approssimazione. Con questa approssimazione, la distribuzione di Fermi-Dirac può essere tracciata a diverse temperature. Nella figura qui sotto, μ è stato fissato a 5 eV.
Da questa figura è chiaro che allo zero assoluto la distribuzione è una funzione di passo. Ha il valore di 1 per energie sotto l’energia di Fermi, e un valore di 0 per energie superiori. Per temperature finite la distribuzione viene spalmata, poiché alcuni elettroni cominciano ad essere eccitati termicamente a livelli energetici superiori al potenziale chimico, μ. La figura mostra che a temperatura ambiente la funzione di distribuzione non è ancora molto lontana dall’essere una funzione a gradini.
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