Un panel ha la forma
X i t , i = 1 , … , N , t = 1 , … , T , {\displaystyle X_{it},\quad i=1,\punti ,N,\quad t=1,\punti ,T,}
dove i {\displaystyle i}
è la dimensione individuale e t {displaystyle t}
è la dimensione temporale. Un modello generale di regressione di dati panel è scritto come y i t = α + β ′ X i t + u i t . {y_{it}=alpha +\beta ‘X_{it}+u_{it}.}
Si possono fare diverse ipotesi sulla struttura precisa di questo modello generale. Due modelli importanti sono il modello a effetti fissi e il modello a effetti casuali.
Consideriamo un modello generico di dati panel:
y i t = α + β ′ X i t + u i t , {\displaystyle y_{it}=\alpha +\beta ‘X_{it}+u_{it},}
u i t = μ i + v i t . {\displaystyle u_{it}=\mu _{i}+v_{it}.
μ i {\displaystyle \mu _{i}}
sono effetti individuali specifici e invarianti nel tempo (per esempio in un panel di paesi questo potrebbe includere la geografia, il clima ecc.) che sono fissi nel tempo, mentre v i t {displaystyle v_{it}
è una componente casuale variabile nel tempo.
Se μ i {displaystyle \mu _{i}}
non è osservato e correlato con almeno una delle variabili indipendenti, allora causerà un errore di omissione in una regressione OLS standard. Tuttavia, i metodi dei dati panel, come lo stimatore a effetti fissi o, in alternativa, lo stimatore a prima differenza possono essere usati per controllarla.
Se μ i {displaystyle \mu _{i}}
non è correlato con nessuna delle variabili indipendenti, i metodi di regressione lineare ai minimi quadrati possono essere usati per produrre stime imparziali e coerenti dei parametri di regressione. Tuttavia, poiché μ i {displaystyle \mu _{i}}
è fisso nel tempo, indurrà una correlazione seriale nel termine di errore della regressione. Questo significa che sono disponibili tecniche di stima più efficienti. Gli effetti casuali sono uno di questi metodi: è un caso speciale di minimi quadrati generalizzati fattibili che controlla la struttura della correlazione seriale indotta da μ i {\displaystyle \mu _{i}}
.
Dati panel dinamiciModifica
I dati panel dinamici descrivono il caso in cui un ritardo della variabile dipendente è usato come regressore:
y i t = α + β ′ X i t + γ y i t – 1 + u i t , {\displaystyle y_{it}=\alpha +\beta ‘X_{it}+\gamma y_{it-1}+u_{it},}
La presenza della variabile dipendente ritardata viola la stretta esogeneità, cioè può verificarsi l’endogeneità. Lo stimatore a effetti fissi e lo stimatore delle prime differenze si basano entrambi sull’assunzione di stretta esogeneità. Quindi, se u i {displaystyle u_{i}}
si ritiene che sia correlato con una delle variabili indipendenti, è necessario utilizzare una tecnica di stima alternativa. Le variabili strumentali o le tecniche GMM sono comunemente usate in questa situazione, come lo stimatore Arellano-Bond.