Quel est le plus grand nombre du monde?

Si vous avez déjà demandé quel est le plus grand nombre pendant une leçon de mathématiques, il est fort probable qu’une étincelle brillante a pipé avec une réponse du genre : « C’est facile ! C’est l’infini bien sûr ! »

Le seul problème avec l’infini est qu’il ne s’agit pas d’un nombre en tant que tel, comme le démontre la conversation ci-dessous entre deux étincelles brillantes.

Étincelle brillante n°1 : « L’infini est le plus grand nombre du monde, c’est facile ! »

Etincelle brillante deux : « Eh bien j’ai un plus grand nombre pour vous – l’infini plus un ! »

Etincelle brillante un encore : « 

J’ai un nombre qui battra le vôtre – l’infini plus un, fois un million ! »

La conversation continue comme ça pendant ce qui semble être un temps infini jusqu’à ce qu’aucune des deux étincelles brillantes ne soit arrivée au plus grand nombre du monde.

Avant longtemps, les deux étincelles brillantes ont réalisé que l’infini n’est pas vraiment un nombre du tout, c’est plus un concept. Ce que personne n’a encore dit aux deux brillantes étincelles, c’est l’idée choquante qu’il existe différentes tailles d’infini ! Alors comment calculer le plus grand nombre?

L’infini des nombres à compter

La façon la plus simple de créer un ensemble de nombres dont la taille est infinie est de compter vers le haut en nombres entiers. Cet ensemble de nombres s’appelle les nombres naturels et il est évidemment de taille infinie puisque nous pouvons continuer à compter indéfiniment. Le symbole est utilisé pour étiqueter cet ensemble et il signifie « nombres naturels ».

Regardons maintenant une autre liste de nombres et appelons cet ensemble (notre propre étiquette):

L’ensemble est également de taille infinie, mais semble contenir un nombre de moins que . Sont-ils de même taille ?

Nous pouvons montrer que et sont en fait de même taille en montrant qu’il existe une correspondance biunivoque entre les éléments de et les éléments de .

…

Jusqu’à présent, nous aurions dit que la taille de était simplement l’infini, qui s’écrit comme un chiffre huit sur sa face:.

Cependant, nous sommes sur le point de découvrir qu’il existe différentes tailles d’infini, et donc nous étiquetons maintenant la taille de comme étant qui se prononce comme « aleph zéro ». est la plus petite taille de l’infini, et notre ensemble a également la taille .

Autres ensembles qui ont la taille

Il existe de nombreux autres ensembles de nombres qui ont la taille infinie de . Il s’agit notamment de l’ensemble des nombres entiers pairs positifs, mais aussi de ce que l’on appelle l’ensemble des nombres rationnels. Les nombres rationnels sont tous les nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions. Si un ensemble de nombres a la taille , on dit qu’il est dénombrable.

On peut écrire chaque fraction possible dans un tableau comme celui ci-dessous. Des fractions équivalentes peuvent apparaître plus d’une fois, par exemple , mais nous pouvons facilement supprimer les répétitions du tableau. Nous pouvons ensuite dessiner un motif diagonal qui nous permettra de placer nos fractions dans une liste. Nous nous retrouvons maintenant avec une liste ordonnée de fractions …

Si nous avons une liste de fractions, elles peuvent être comptées et les nombres rationnels sont donc dits dénombrables.

Comment trouver une taille de l’infini qui soit plus grande que?

Pas tous les nombres peuvent être écrits sous forme de fraction. Les nombres qui ne peuvent pas être écrits sous forme de fractions sont appelés nombres irrationnels. Des exemples bien connus incluent et des surds tels que et .

Les expansions décimales des nombres irrationnels comme (3,1415926535…) se poursuivent indéfiniment, et ces nombres ne peuvent jamais être écrits comme des fractions, même si les gens aiment utiliser comme une approximation pour .

Regardons maintenant l’ensemble de tous les nombres qui sont entre 0 et 1. Cet ensemble comprendra des nombres rationnels tels que ainsi que des nombres irrationnels tels que Cet ensemble de nombres est clairement de taille infinie, car nous pouvons toujours penser à de plus en plus de nombres qui sont contenus dans l’intervalle (0,1).

En 1873, un mathématicien allemand appelé Georg Cantor a inventé une preuve très intelligente que l’ensemble de tous les nombres réels dans l’intervalle (0,1) a une taille qui est une plus grande infinité que la taille de l’ensemble des nombres naturels .

Résumé du célèbre argument diagonal de Cantor.

Supposons que la taille de l’ensemble de tous les nombres réels dans l’intervalle (0,1) est la même taille que . Nous pourrions alors faire une liste tentant de compter à travers les nombres réels entre 0 et 1. Cela pourrait ressembler à quelque chose comme ceci si nous n’étions pas très logiques:

L’étape suivante vraiment intelligente de Cantor était de construire un nouveau nombre qui n’est pas sur la liste. L’argument de Cantor fonctionnera soit si nous utilisons une liste comme celle ci-dessus, ou même si nous essayons minutieusement de faire une liste logique qui tente de capturer tous les nombres entre 0 et 1:

La façon astucieuse de Cantor de choisir un nombre qui n’est pas sur la liste.

Ce nouveau nombre n’est manifestement pas dans la liste et Cantor avait trouvé une contradiction – Cantor a montré qu’on ne peut jamais faire une correspondance biunivoque entre les nombres naturels et les nombres réels dans l’intervalle (0,1). Cantor avait prouvé que la taille des nombres réels est plus grande que la taille des nombres naturels ! Les nombres réels sont indénombrables ! Il existe différentes tailles d’infini !

En conclusion, la réponse à la question de savoir quel est le plus grand nombre du monde n’est pas simple. En un mot, il n’y a pas de plus grand nombre, on peut continuer à compter indéfiniment. Mais vous pouvez aussi trouver deux groupes de nombres – tous deux de taille infinie, mais aussi de taille différente l’un de l’autre. C’est vraiment incroyable d’y penser !

Le plus grand nombre : Lectures complémentaires

Cet article n’a fait que commencer à gratter la surface de ce sujet fascinant et époustouflant. Si vous voulez aller plus loin, essayez « L’hypothèse du continuum » dans le magazine Plus. Si vous choisissez d’étudier les mathématiques au niveau licence, vous aurez la chance d’étudier ce que l’on appelle la théorie des ensembles, couvrant plus en détail les sujets abordés dans cet article.

Article de Hazel Lewis

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