Les logarithmes des nombres négatifs ne sont pas définis dans les nombres réels, de la même manière que les racines carrées des nombres négatifs ne sont pas définies dans les nombres réels. Si l’on attend de vous que vous trouviez le logarithme d’un nombre négatif, une réponse de « indéfini » est suffisante dans la plupart des cas.
Il est possible d’en évaluer un, cependant, la réponse sera un nombre complexe. (un nombre de la forme #a + bi#, où #i = sqrt(-1)#)
Si vous êtes familier avec les nombres complexes et que vous vous sentez à l’aise pour travailler avec eux, alors lisez la suite.
D’abord, commençons par un cas général :
#log_b (-x) = ?#
Nous allons utiliser la règle du changement de base et convertir en logarithmes naturels, pour faciliter les choses par la suite :
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Notez que #ln(-x)# est la même chose que #ln(-1 * x)#. Nous pouvons exploiter la propriété d’addition des logarithmes, et séparer cette partie en deux logs distincts :
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Maintenant le seul problème est de trouver ce qu’est #ln(-1)#. Cela peut sembler une chose impossible à évaluer au début, mais il y a une équation assez célèbre connue sous le nom d’Identité d’Euler qui peut nous aider.
L’Identité d’Euler énonce :
#e^(ipi) = -1#
Ce résultat provient des expansions en série de puissance du sinus et du cosinus. (Je ne vais pas expliquer cela trop en profondeur, mais si cela vous intéresse, il y a une belle page ici qui explique un peu plus)
Pour l’instant, prenons simplement le logarithme naturel des deux côtés de l’identité d’Euler:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Simplifié :
#ipi = ln(-1)#
Alors, maintenant que nous savons ce qu’est #ln(-1)#, nous pouvons resubstituer dans notre équation:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Vous avez maintenant une formule pour trouver les logs des nombres négatifs. Donc, si nous voulons évaluer quelque chose comme #log_2 10#, nous pouvons simplement brancher quelques valeurs :
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#approximativement 3,3219 + 4,5324i#
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