Infini

Infinis mathématiques

Les Grecs anciens exprimaient l’infini par le mot apeiron, qui avait des connotations d’être non borné, indéfini, indéfini et sans forme. L’une des premières apparitions de l’infini en mathématiques concerne le rapport entre la diagonale et le côté d’un carré. Pythagore (vers 580-500 avant J.-C.) et ses disciples ont d’abord cru que tout aspect du monde pouvait être exprimé par un arrangement impliquant uniquement les nombres entiers (0, 1, 2, 3,…), mais ils ont été surpris de découvrir que la diagonale et le côté d’un carré sont incommensurables, c’est-à-dire que leurs longueurs ne peuvent pas toutes deux être exprimées comme des multiples de nombres entiers d’une unité (ou d’un instrument de mesure) commune. Dans les mathématiques modernes, on exprime cette découverte en disant que le rapport est irrationnel et qu’il est la limite d’une série décimale infinie et non répétitive. Dans le cas d’un carré dont les côtés sont de longueur 1, la diagonale est Racine carrée de√2, s’écrivant 1,414213562…, où l’ellipse (…) indique une suite sans fin de chiffres sans modèle.

Platon (428/427-348/347 av. J.-C.) et Aristote (384-322 av. J.-C.) partageaient tous deux l’aversion générale des Grecs pour la notion d’infini. Aristote a influencé la pensée ultérieure pendant plus d’un millénaire par son rejet de l’infini « réel » (spatial, temporel ou numérique), qu’il distingue de l’infini « potentiel » consistant à pouvoir compter sans fin. Pour éviter l’utilisation de l’infini réel, Eudoxe de Cnide (vers 400-350 av. J.-C.) et Archimède (vers 285-212/211 av. J.-C.) ont mis au point une technique, connue plus tard sous le nom de méthode de l’épuisement, qui consiste à calculer une surface en divisant par deux l’unité de mesure à des étapes successives jusqu’à ce que la surface restante soit inférieure à une certaine valeur fixe (la région restante ayant été  » épuisée « ).

La question des nombres infiniment petits a conduit à la découverte du calcul à la fin des années 1600 par le mathématicien anglais Isaac Newton et le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton a introduit sa propre théorie des nombres infiniment petits, ou infinitésimaux, pour justifier le calcul des dérivées, ou pentes. Pour trouver la pente (c’est-à-dire la variation de y par rapport à la variation de x) d’une ligne touchant une courbe en un point donné (x, y), il a trouvé utile d’examiner le rapport entre dy et dx, où dy est une variation infinitésimale de y produite par un déplacement infinitésimal dx de x. Les infinitésimaux ont été fortement critiqués, et une grande partie de l’histoire de l’analyse a tourné autour des efforts visant à trouver une autre base rigoureuse pour le sujet. L’utilisation des nombres infinitésimaux a finalement acquis une base solide avec le développement de l’analyse non standard par le mathématicien d’origine allemande Abraham Robinson dans les années 1960.

Une utilisation plus directe de l’infini en mathématiques apparaît avec les efforts pour comparer les tailles des ensembles infinis, comme l’ensemble des points sur une ligne (nombres réels) ou l’ensemble des nombres à compter. Les mathématiciens sont rapidement frappés par le fait que les intuitions ordinaires sur les nombres sont trompeuses lorsqu’on parle de tailles infinies. Les penseurs médiévaux étaient conscients du fait paradoxal que des segments de ligne de différentes longueurs semblaient avoir le même nombre de points. Par exemple, dessinez deux cercles concentriques, l’un ayant deux fois le rayon (et donc deux fois la circonférence) de l’autre, comme le montre la figure. Étonnamment, chaque point P du cercle extérieur peut être apparié à un point unique P′ du cercle intérieur en traçant une ligne de leur centre commun O à P et en étiquetant son intersection avec le cercle intérieur P′. L’intuition suggère que le cercle extérieur devrait avoir deux fois plus de points que le cercle intérieur, mais dans ce cas l’infini semble être la même chose que deux fois l’infini. Au début des années 1600, le scientifique italien Galileo Galilei s’est attaqué à ce problème et à un résultat non intuitif similaire, maintenant connu sous le nom de paradoxe de Galilée. Galilée a démontré que l’ensemble des nombres comptés pouvait être mis en correspondance biunivoque avec l’ensemble apparemment beaucoup plus petit de leurs carrés. De même, il a montré que l’ensemble des nombres comptés et leurs doubles (c’est-à-dire l’ensemble des nombres pairs) pouvaient être mis en correspondance. Galilée en conclut que « nous ne pouvons pas parler de quantités infinies comme étant l’une plus grande ou plus petite ou égale à une autre. » De tels exemples ont conduit le mathématicien allemand Richard Dedekind, en 1872, à suggérer une définition d’un ensemble infini comme un ensemble qui pourrait être mis dans une relation biunivoque avec un certain sous-ensemble approprié.

La confusion sur les nombres infinis a été résolue par le mathématicien allemand Georg Cantor à partir de 1873. Tout d’abord, Cantor a démontré rigoureusement que l’ensemble des nombres rationnels (fractions) est de la même taille que les nombres de comptage ; c’est pourquoi ils sont appelés dénombrables, ou dénombrables. Bien sûr, cela n’a pas été un véritable choc, mais plus tard, la même année, Cantor a prouvé le résultat surprenant que toutes les infinités ne sont pas égales. À l’aide d’un « argument diagonal », Cantor a montré que la taille des nombres dénombrables est strictement inférieure à la taille des nombres réels. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Cantor.

Pour comparer des ensembles, Cantor a d’abord fait la distinction entre un ensemble spécifique et la notion abstraite de sa taille, ou cardinalité. Contrairement à un ensemble fini, un ensemble infini peut avoir la même cardinalité qu’un sous-ensemble propre de lui-même. Cantor a utilisé un argument diagonal pour montrer que la cardinalité de tout ensemble doit être inférieure à la cardinalité de son ensemble puissance, c’est-à-dire l’ensemble qui contient tous les sous-ensembles possibles de l’ensemble donné. En général, un ensemble de n éléments a un ensemble de puissance de 2n éléments, et ces deux cardinalités sont différentes même lorsque n est infini. Cantor a appelé les tailles de ses ensembles infinis « cardinaux transfinis ». Ses arguments ont montré qu’il existe des cardinaux transfinis de tailles infiniment différentes (comme les cardinaux de l’ensemble des nombres comptants et de l’ensemble des nombres réels).

Les cardinaux transfinis comprennent aleph-null (la taille de l’ensemble des nombres entiers), aleph-one (l’infini immédiatement supérieur) et le continuum (la taille des nombres réels). Ces trois nombres s’écrivent également ℵ0, ℵ1 et c, respectivement. Par définition, ℵ0 est inférieur à ℵ1, et par le théorème de Cantor, ℵ1 est inférieur ou égal à c. Avec un principe connu sous le nom d’axiome du choix, la méthode de preuve du théorème de Cantor peut être utilisée pour assurer une séquence sans fin de cardinaux transfinis continuant après ℵ1 vers des nombres tels que ℵ2 et ℵℵ0.

Le problème du continuum est la question de savoir lequel des alephs est égal à la cardinalité du continuum. Cantor a conjecturé que c = ℵ1 ; ceci est connu comme l’hypothèse du continuum de Cantor (CH). CH peut également être considéré comme affirmant que tout ensemble de points sur la ligne doit soit être dénombrable (de taille inférieure ou égale à ℵ0), soit avoir une taille aussi grande que l’espace entier (être de taille c).

Au début des années 1900, une théorie approfondie des ensembles infinis a été développée. Cette théorie est connue sous le nom de ZFC, qui signifie théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec l’axiome du choix. CH est connu pour être indécidable sur la base des axiomes de la ZFC. En 1940, le logicien d’origine autrichienne Kurt Gödel a pu montrer que la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel ne pouvait pas réfuter la théorie des ensembles, et en 1963, le mathématicien américain Paul Cohen a montré que la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel ne pouvait pas prouver la théorie des ensembles. Les théoriciens des ensembles continuent d’explorer les moyens d’étendre les axiomes ZFC de manière raisonnable afin de résoudre CH. Des travaux récents suggèrent que CH pourrait être faux et que la vraie taille de c pourrait être l’infini plus grand ℵ2.

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