Les électrons sont un exemple d’un type de particule appelé fermion. Les autres fermions comprennent les protons et les neutrons. En plus de leur charge et de leur masse, les électrons ont une autre propriété fondamentale appelée spin. Une particule avec un spin se comporte comme si elle avait un moment angulaire intrinsèque. Ainsi, chaque électron possède un petit dipôle magnétique. Le nombre quantique de spin est la projection le long d’un axe arbitraire (généralement appelé axe z dans les manuels) du spin d’une particule exprimé en unités de h. Les électrons ont un spin ½, qui peut être aligné de deux manières possibles, généralement appelées « spin up » ou « spin down ».
Tous les fermions ont un spin demi-entier. Une particule qui a un spin entier est appelée un boson. Les photons, qui ont le spin 1, sont des exemples de bosons. Une conséquence du spin demi-entier des fermions est que cela impose une contrainte sur le comportement d’un système contenant plus d’un fermion.
Cette contrainte est le principe d’exclusion de Pauli, qui stipule que deux fermions ne peuvent avoir exactement le même ensemble de nombres quantiques. C’est pour cette raison que seuls deux électrons peuvent occuper chaque niveau d’énergie électronique – un électron peut avoir un spin up et l’autre un spin down, de sorte qu’ils ont des nombres quantiques de spin différents, même si les électrons ont la même énergie.
Ces contraintes sur le comportement d’un système de nombreux fermions peuvent être traitées statistiquement. Le résultat est que les électrons seront distribués dans les niveaux d’énergie disponibles selon la distribution de Dirac de Fermi :
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où f(ε) est la probabilité d’occupation d’un état d’énergie ε, kB est la constante de Boltzmann, μ (la lettre grecque mu) est le potentiel chimique, et T est la température en Kelvin.
La distribution décrit la probabilité d’occupation d’un état quantique d’énergie E à une température T. Si les énergies des états électroniques disponibles et la dégénérescence des états (le nombre d’états énergétiques électroniques qui ont la même énergie) sont toutes deux connues, cette distribution peut être utilisée pour calculer les propriétés thermodynamiques des systèmes d’électrons.
Au zéro absolu, la valeur du potentiel chimique, μ, est définie comme l’énergie de Fermi. À température ambiante, le potentiel chimique des métaux est pratiquement le même que l’énergie de Fermi – typiquement, la différence n’est que de l’ordre de 0,01 %. Il n’est pas surprenant que le potentiel chimique des métaux à température ambiante soit souvent considéré comme l’énergie de Fermi. Pour un semi-conducteur pur non dopé à température finie, le potentiel chimique se situe toujours à mi-chemin entre la bande de valence et la bande de conduction. Cependant, comme nous le verrons dans une section ultérieure de ce TLP, le potentiel chimique dans les semi-conducteurs extrinsèques (dopés) a une dépendance significative de la température.
Afin de comprendre qualitativement le comportement des électrons à température finie dans les métaux et les semi-conducteurs purs non dopés, il est clairement suffisant de traiter μ comme une constante en première approximation. Avec cette approximation, la distribution de Fermi-Dirac peut être tracée à plusieurs températures différentes. Dans la figure ci-dessous, μ a été fixé à 5 eV.
D’après cette figure, il est clair qu’au zéro absolu, la distribution est une fonction échelon. Elle a la valeur de 1 pour les énergies inférieures à l’énergie de Fermi, et une valeur de 0 pour les énergies supérieures. Pour des températures finies, la distribution s’étale, car certains électrons commencent à être excités thermiquement à des niveaux d’énergie supérieurs au potentiel chimique, μ. La figure montre qu’à température ambiante, la fonction de distribution n’est toujours pas très loin d’être une fonction échelon.
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