Vitt brus | Li Linguas

Vitt brus vektorRedigera

En slumpmässig vektor (det vill säga en delvis obestämd process som producerar vektorer av reella tal) sägs vara en vektor med vitt brus eller en vit slumpmässig vektor om dess komponenter var och en har en sannolikhetsfördelning med noll medelvärde och ändlig varians och är statistiskt oberoende: det vill säga att deras gemensamma sannolikhetsfördelning måste vara produkten av fördelningarna av de enskilda komponenterna.

Ett nödvändigt (men i allmänhet inte tillräckligt) villkor för statistiskt oberoende av två variabler är att de är statistiskt okorrelerade, det vill säga att deras kovarians är noll. Därför måste kovariansmatrisen R för komponenterna i en vit brusvektor w med n element vara en n gånger n diagonalmatris, där varje diagonalelement Rii är variansen för komponent wi; och korrelationsmatrisen måste vara n gånger n identitetsmatrisen.

Om, förutom att vara oberoende, varje variabel i w också har en normalfördelning med noll medelvärde och samma varians σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

, sägs w vara en vit vit vektor med gaussiskt brus. I det fallet är den gemensamma fördelningen av w en multivariat normalfördelning; oberoendet mellan variablerna innebär då att fördelningen har sfärisk symmetri i det n-dimensionella rummet. Därför kommer varje ortogonal transformation av vektorn att resultera i en vit vit gaussisk slumpvektor. I synnerhet kommer transformationen W av w enligt de flesta typer av diskreta Fouriertransformationer, t.ex. FFT och Hartley, också att vara en vit gaussisk brusvektor, dvs. de n Fourierkoefficienterna av w kommer att vara oberoende gaussiska variabler med noll medelvärde och samma varians σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

Effektspektrumet P för en slumpmässig vektor w kan definieras som det förväntade värdet av den kvadrerade modulen för varje koefficient i dess Fouriertransform W, det vill säga Pi = E(|Wi|2). Enligt den definitionen kommer en vit vit gaussisk brusvektor att ha ett helt platt effektspektrum, med Pi = σ2 för alla i.

Om w är en vit slumpmässig vektor, men inte en gaussisk, kommer dess Fourierkoefficienter Wi inte att vara helt oberoende av varandra; även om för stora n och vanliga sannolikhetsfördelningar är beroendena mycket subtila, och deras parvisa korrelationer kan antas vara noll.

Ofta används det svagare villkoret ”statistiskt okorrelerat” i definitionen av vitt brus, istället för ”statistiskt oberoende”. Vissa av de allmänt förväntade egenskaperna hos vitt brus (t.ex. platt effektspektrum) gäller dock kanske inte för denna svagare version. Under detta antagande kan den strängare versionen uttryckligen kallas oberoende vit brusvektor. s.60 Andra författare använder istället starkt vit och svagt vit.

Ett exempel på en slumpmässig vektor som är ”Gaussiskt vitt brus” i den svaga men inte i den starka bemärkelsen är x= där x1 är en normal slumpmässig variabel med noll medelvärde, och x2 är lika med +x1 eller med -x1, med lika stor sannolikhet. Dessa två variabler är okorrelerade och individuellt normalfördelade, men de är inte gemensamt normalfördelade och inte oberoende. Om x roteras 45 grader kommer dess två komponenter fortfarande att vara okorrelerade, men deras fördelning kommer inte längre att vara normal.

I vissa situationer kan man lätta på definitionen genom att tillåta att varje komponent i en vit slumpmässig vektor w har ett förväntat värde som inte är lika med noll μ {\displaystyle \mu }.

. Särskilt inom bildbehandling, där proverna vanligtvis är begränsade till positiva värden, tar man ofta μ {\displaystyle \mu }

till hälften av det maximala värdet på provet. I det fallet kommer Fourierkoefficienten W0 som motsvarar nollfrekvenskomponenten (i huvudsak medelvärdet av wi) också att ha ett förväntat värde som inte är noll μ n {\displaystyle \mu {\sqrt {n}}}

; och effektspektrumet P kommer att vara platt endast över de frekvenser som inte är noll.

Diskret tid vitbrusRedigera

En diskret tidsstokastisk process W {\displaystyle W}

är en generalisering av slumpmässiga vektorer med ett ändligt antal komponenter till oändligt många komponenter. En diskret tidsstokastisk process W {\displaystyle W}

kallas vitt brus om dess medelvärde inte beror på tiden n {\displaystyle n}

och är lika med noll, dvs. E ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} ]=0}

och om autokorrelationsfunktionen R W = E W ] {\displaystyle R_{W}=\operatorname {E} W]}

endast beror på n {\displaystyle n}

men inte av k {\displaystyle k}

och har ett annat värde än noll endast för n = 0 {\displaystyle n=0}

, dvs. R W = σ 2 δ {\displaystyle R_{W}=\sigma ^{2}\delta }

Vitt brus i kontinuerlig tidRedigera

För att definiera begreppet ”vitt brus” i teorin om signaler i kontinuerlig tid måste man ersätta begreppet ”slumpmässig vektor” med en slumpmässig signal i kontinuerlig tid, det vill säga en slumpmässig process som genererar en funktion w {\displaystyle w}

av en realvärderad parameter t {\displaystyle t}

En sådan process sägs vara vitt brus i den starkaste meningen om värdet w ( t ) {\displaystyle w(t)}

för varje tidpunkt t {\displaystyle t}

är en slumpvariabel som är statistiskt oberoende av hela sin historia före t {\displaystyle t}

. En svagare definition kräver oberoende endast mellan värdena w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

och w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

vid varje par distinkta tidpunkter t 1 {\displaystyle t_{1}}

och t 2 {\displaystyle t_{2}}}

. En ännu svagare definition kräver endast att sådana par w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

och w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

vara okorrelerade. Liksom i det diskreta fallet antar vissa författare den svagare definitionen för ”vitt brus” och använder beteckningen oberoende för att hänvisa till någon av de starkare definitionerna. Andra använder svagt vitt och starkt vitt för att skilja dem åt.

En exakt definition av dessa begrepp är dock inte trivial, eftersom vissa kvantiteter som är ändliga summor i det ändliga diskreta fallet måste ersättas med integraler som kanske inte konvergerar. Faktum är att mängden av alla möjliga fall av en signal w {\displaystyle w}

är inte längre ett finit-dimensionellt rum R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}}

, utan ett oändligt dimensionellt funktionsrum. Dessutom är en signal med vitt brus w {\displaystyle w}

i princip vara diskontinuerlig i varje punkt; därför måste även de enklaste operationerna på w {\displaystyle w}

, som integration över ett ändligt intervall, kräver avancerade matematiska maskiner.

Vissa författare kräver att varje värde w ( t ) {\displaystyle w(t)}

vara en realvärderad slumpvariabel med förväntan μ {\displaystyle \mu }

och en ändlig varians σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

. Då är kovariansen E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

mellan värdena vid två tidpunkter t 1 {\displaystyle t_{1}}

och t 2 {\displaystyle t_{2}}

är väldefinierad: den är noll om tidpunkterna är olika, och σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

om de är lika. Enligt denna definition är dock integralen W = ∫ a a a + r w ( t ) d t {\displaystyle W_{}=\int _{a}^{a}+r}w(t)\,dt}

över varje intervall med positiv bredd r {\displaystyle r}

skulle helt enkelt vara bredden gånger förväntan: r μ {\displaystyle r\mu }

. Denna egenskap skulle göra begreppet otillräckligt som modell för fysiska signaler med ”vitt brus”.

De flesta författare definierar därför signalen w {\displaystyle w}

indirekt genom att ange värden som inte är noll för integralerna av w ( t ) {\displaystyle w(t)}

och | w ( t ) | 2 {\displaystyle |w(t)|^{2}}

över varje intervall {\displaystyle }

, som en funktion av dess bredd r {\displaystyle r}

. I detta tillvägagångssätt är dock värdet av w ( t ) {\displaystyle w(t)}

vid en isolerad tidpunkt inte kan definieras som en realvärderad slumpvariabel. Även kovariansen E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

blir oändlig när t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}}