Logaritmer av negativa tal är inte definierade i de reella talen, på samma sätt som kvadratrötter av negativa tal inte är definierade i de reella talen. Om du förväntas hitta logaritmen till ett negativt tal räcker det i de flesta fall med svaret ”odefinierad”.
Det är möjligt att utvärdera en sådan, men svaret kommer att vara ett komplext tal. (ett tal av formen #a + bi#, där #i = sqrt(-1)#)
Om du är bekant med komplexa tal och känner dig bekväm med att arbeta med dem, så läs vidare.
Först börjar vi med ett allmänt fall:
#log_b (-x) = ?#
Vi kommer att använda basändringsregeln och konvertera till naturliga logaritmer, för att göra det lättare senare:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Bemärk att #ln(-x)# är samma sak som #ln(-1 * x)#. Vi kan utnyttja additionsegenskapen för logaritmer och separera denna del i två separata logaritmer:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Nu är det enda problemet att ta reda på vad #ln(-1)# är. Det kan först se ut som en omöjlig sak att utvärdera, men det finns en ganska berömd ekvation som kallas Eulers identitet och som kan hjälpa oss.
Eulers identitet säger:
#e^(ipi) = -1#
Detta resultat kommer från potensserieexpansioner av sinus och cosinus. (Jag ska inte förklara det alltför ingående, men om du är intresserad finns det en fin sida här som förklarar lite mer)
För tillfället tar vi helt enkelt den naturliga loggen av båda sidorna av Eulers identitet:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Simplifierat:
#ipi = ln(-1)#
Nu när vi vet vad #ln(-1)# är kan vi alltså sätta in det i vår ekvation:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Nu har du en formel för att hitta logaritmer för negativa tal. Så om vi vill utvärdera något som #log_2 10# kan vi helt enkelt sätta in några värden:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#approx 3.3219 + 4.5324i#