Vad är det största talet i världen?

Om du någonsin har frågat vad det största talet är under en matematiklektion är det ganska troligt att någon smart gnista kom med ett svar i stil med: ”Det är lätt! Det är oändligheten förstås!”

Det enda problemet med oändligheten är att det inte är ett tal som sådant, vilket framgår av nedanstående konversation mellan två ljusa gnistor.

Ljusa gnista ett:

Bright spark två: ”Jag har ett större tal till dig – oändlighet plus ett!”

Bright spark ett igen: ”Jag har ett större tal till dig – oändlighet plus ett!” ”Jag har ett tal som slår ditt – oändlighet plus ett, gånger en miljon!”

Samtalet fortsätter så här i vad som verkar vara oändligt lång tid tills ingen av de två ljusa gnistorna har kommit fram till världens största tal.

Förr eller senare har de två ljusa gnistorna insett att oändlighet egentligen inte alls är ett tal, utan snarare ett begrepp. Vad ingen ännu har berättat för de två ljusa gnistorna är den chockerande idén att det finns olika storlekar på oändligheten! Så hur räknar vi ut det största talet?

Oändligheten i de räknande talen

Det enklaste sättet att skapa en mängd tal som är oändligt stor är att räkna uppåt i hela tal. Denna uppsättning tal kallas de naturliga talen och är uppenbarligen oändlig i storlek eftersom vi kan fortsätta att räkna i all oändlighet. Symbolen används för att märka denna mängd och står för ”naturliga tal”.

Låt oss nu titta på en annan lista med tal och kalla denna mängd (vår egen etikett):

Mängden är också oändlig i storlek, men verkar innehålla ett tal mindre än . Är de lika stora?

Vi kan visa att och faktiskt är lika stora genom att visa att det finns en en-till-en-korrespondens mellan elementen i och elementen i .

…

Härför skulle vi hittills ha sagt att storleken på helt enkelt var oändligheten, som skrivs som en åtta på sin sida: .

Hur som helst ska vi snart få reda på att det finns olika storlekar på oändligheten, och därför betecknar vi nu storleken på som , vilket uttalas som ”aleph zero”. är den minsta storleken på oändligheten, och vår mängd har också storleken .

Andra mängder som har storleken

Det finns många andra mängder av tal som har den oändliga storleken . Dessa inkluderar mängden positiva jämna hela tal och även det som kallas mängden rationella tal. Rationella tal är alla tal som kan skrivas som bråk. Om en mängd tal har storleken sägs den vara räknebar.

Vi kan skriva ner alla möjliga bråk i en tabell som den nedan. Likvärdiga bråk kan förekomma mer än en gång, till exempel , men vi kan enkelt ta bort alla upprepningar från tabellen. Vi kan sedan rita på ett diagonalt mönster som gör att vi kan placera våra bråk i en lista. Vi har nu en snygg lista över bråk …

Om vi har en lista över bråk kan de räknas och de rationella talen sägs därför vara räkningsbara.

Hur hittar vi en storlek på oändligheten som är större än?

Inte alla tal kan skrivas som bråk. Tal som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Välkända exempel är och surder som och .

De decimala expansionerna av irrationella tal som (3,1415926535…) fortsätter i all oändlighet, och dessa tal kan aldrig skrivas som bråk, även om folk gillar att använda som en approximation för .

Låt oss nu titta på mängden av alla tal som ligger mellan 0 och 1. Denna mängd kommer att innehålla rationella tal som såväl som irrationella tal som Denna mängd tal är uppenbarligen oändlig i storlek, eftersom vi alltid kan tänka oss fler och fler tal som ingår i intervallet (0,1).

År 1873 uppfann en tysk matematiker vid namn Georg Cantor ett mycket smart bevis för att mängden av alla reella tal i intervallet (0,1) har en storlek som är en större oändlighet än storleken på mängden av de naturliga talen .

Sammanfattning av Cantors berömda diagonala argument.

Låta oss anta att storleken på mängden av alla reella tal i intervallet (0,1) är lika stor som . Vi skulle då kunna göra en lista där vi försöker räkna upp genom de reella talen mellan 0 och 1. Den skulle kunna se ut ungefär så här om vi inte var särskilt logiska:

Cantors riktigt smarta nästa steg var att konstruera ett nytt tal som inte finns med på listan. Cantors argument fungerar antingen om vi använder en lista som den ovan, eller även om vi mödosamt försökte göra en logisk lista som försökte fånga varje tal mellan 0 och 1:

Cantors smarta sätt att välja ett tal som inte finns med på listan.