Symbolisk logik
Michael Genesereth
Computer Science Department
Stanford University
Och även om det är möjligt att undervisa i logik med hjälp av enbart det engelska språket är detta problematiskt. Meningar på naturligt språk kan vara komplexa, de kan vara tvetydiga, och om man inte förstår innebörden av en mening kan det leda till fel i resonemanget.
Även mycket enkla meningar kan vara besvärliga. Här ser vi två grammatiskt lagliga meningar. De är likadana i allt utom det sista ordet, men deras struktur är helt olika. I den första är huvudverbet blossoms, medan blossoms i den andra är ett substantiv och huvudverbet är sank.
Körsbärsblommorna blommar på våren.
Körsbärsblommorna på våren sjönk.
Som ett annat exempel på grammatisk komplexitet kan vi betrakta följande utdrag ur hyresavtalet från University of Michigan. Meningen i det här fallet är tillräckligt lång och den grammatiska strukturen tillräckligt komplex för att människor ofta måste läsa den flera gånger för att förstå exakt vad den säger.
Universitetet kan säga upp detta hyresavtal när hyrestagaren, efter att ha ansökt om och undertecknat detta hyresavtal före inskrivningen, inte är berättigad att skriva in sig eller misslyckas med att skriva in sig vid universitetet eller lämnar universitetet när som helst innan detta hyresavtal löper ut, eller för brott mot någon bestämmelse i detta hyresavtal, eller för brott mot någon av universitetets bestämmelser om boende i studentbostäder, eller av hälsoskäl, genom att skriftligen underrätta studenten om denna uppsägning 30 dagar innan uppsägningsdatumet börjar gälla, såvida inte liv, lem eller egendom skulle äventyras, hyresgästen ägnar sig åt försäljning eller köp av kontrollerade substanser i strid med federal, statlig eller lokal lag, eller hyresgästen inte längre är inskriven som student, eller hyresgästen använder eller innehar skjutvapen, sprängämnen, brännbara vätskor, fyrverkerier eller andra farliga vapen i byggnaden, eller slår falskt larm, varvid det räcker med en uppsägningstid på högst 24 timmar.
Som exempel på tvetydighet, anta att jag skulle skriva meningen Det finns en flicka i rummet med ett teleskop. Se figur 6 för två möjliga betydelser av denna mening. Säger jag att det finns en flicka i ett rum som innehåller ett teleskop? Eller säger jag att det finns en flicka i rummet och att hon håller ett teleskop?
Figur 6 – Det finns en flicka i rummet med ett teleskop.
Sådana komplexiteter och tvetydigheter kan ibland vara humoristiska om de leder till tolkningar som författaren inte hade avsett. Se exemplen nedan för några ökända tidningsrubriker med flera tolkningar. Genom att använda ett formellt språk elimineras sådana oavsiktliga tvetydigheter (och, på gott och ont, undviks också all oavsiktlig humor).
|
Massor som rusar för att se påven trampar ihjäl 6 personer Journal Star, Peoria, 1980
|
||||
|
||||
|
||||
|
Fried Chicken Cooked in Microwave Wins Trip The Oregonian, Portland, 1981
|
Som en illustration av de fel som uppstår när man resonerar med meningar i naturligt språk, se följande exempel. I det första använder vi transitiviteten hos relationen bättre för att härleda en slutsats om den relativa kvaliteten på champagne och läsk från den relativa kvaliteten på champagne och öl och den relativa kvaliteten eller öl och läsk. Så långt så bra.
Champagne är bättre än öl.
Öl är bättre än läsk.
Därmed är champagne bättre än läsk.
Observera nu vad som händer när vi tillämpar samma transitivitetsregel i det fall som illustreras nedan. Argumentets form är densamma som tidigare, men slutsatsen är något mindre trovärdig. Problemet i det här fallet är att användningen av nothing här syntaktiskt liknar användningen av beer i det föregående exemplet, men på engelska betyder det något helt annat.
Bad sex is better than nothing.
Inget är bättre än bra sex.
Därmed är dåligt sex bättre än bra sex.
Symbolisk logik eliminerar dessa svårigheter genom att använda ett formellt språk för att koda information. Med tanke på syntaxen och semantiken i detta formella språk kan vi ge en exakt definition av begreppet logisk slutsats. Dessutom kan vi fastställa exakta resonemangsregler som producerar alla och endast logiska slutsatser.
I detta avseende finns det en stark analogi mellan metoderna i formell logik och metoderna i algebra på högstadiet. För att illustrera denna analogi kan man tänka på följande algebraproblem:
Xavier är tre gånger så gammal som Yolanda. Xaviers ålder och Yolandas ålder summerar till tolv. Hur gamla är Xavier och Yolanda?
Typiskt sett är det första steget i lösningen av ett sådant problem att uttrycka informationen i form av ekvationer. Om vi låter x representera Xaviers ålder och y representera Yolandas ålder kan vi fånga upp problemets väsentliga information enligt nedan.
x – 3y = 0
x + y = 12
Med hjälp av algebraens metoder kan vi sedan manipulera dessa uttryck för att lösa problemet. Först subtraherar vi den andra ekvationen från den första.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
Nästan dividerar vi varje sida av den resulterande ekvationen med -4 för att få fram ett värde för y. Genom att sedan ersätta tillbaka i en av de föregående ekvationerna får vi ett värde för x.
x = 9
y = 3
Tänk nu på följande logiska problem.
Om Mary älskar Pat, så älskar Mary Quincy. Om det är måndag och det regnar, då älskar Mary Pat eller Quincy. Om det är måndag och det regnar, älskar Mary då Quincy?
Som med algebraproblemet är det första steget formalisering. Låt p representera möjligheten att Mary älskar Pat, låt q representera möjligheten att Mary älskar Quincy, låt m representera möjligheten att det är måndag och låt r representera möjligheten att det regnar.
Med dessa förkortningar kan vi representera den väsentliga informationen i detta problem med följande logiska meningar. Den första säger att p förutsätter q, dvs. om Mary älskar Pat, så älskar Mary Quincy. Den andra säger att m och r innebär p eller q, dvs. om det är måndag och regnar så älskar Mary Pat eller Mary Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
Som med algebra, Formell logik definierar vissa operationer som vi kan använda för att manipulera uttryck. Den operation som visas nedan är en variant av det som kallas Propositional Resolution. Uttrycken ovanför linjen är regelns premisser och uttrycket nedanför är slutsatsen.
| p1 ∧ … ∧ pk | ⇒ | q1 ∨ .. ∨ ql |
| r1 ∧ .. ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ … ∨ sn |
| p1 ∧ .. ∧ pk ∧ r1 ∧ .. ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql ∨ s1 ∨ .. ∨ sn |
Det finns två utvecklingar av denna operation. (1) Om en sats på vänster sida i den ena meningen är densamma som en sats på höger sida i den andra meningen är det okej att släppa de två symbolerna, med det förbehållet att endast ett sådant par får släppas. (2) Om en konstant upprepas på samma sida av en enda mening kan alla förekomster utom en strykas.
Vi kan använda denna operation för att lösa problemet med Marys kärleksliv. Om vi tittar på de två premisserna ovan ser vi att p förekommer på vänster sida i den ena meningen och på höger sida i den andra. Följaktligen kan vi upphäva p och därmed härleda slutsatsen att om det är måndag och regnar, så älskar Mary Quincy eller Mary älskar Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
Droppa den upprepade symbolen på höger sida, kommer vi fram till slutsatsen att om det är måndag och det regnar, så älskar Mary Quincy.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Detta exempel är intressant eftersom det visar upp vårt formella språk för att koda logisk information. Precis som med algebra använder vi symboler för att representera relevanta aspekter av världen i fråga, och vi använder operatörer för att koppla samman dessa symboler för att uttrycka information om de saker som symbolerna representerar.
Exemplet introducerar också en av de viktigaste operationerna i formell logik, nämligen resolution (i det här fallet en begränsad form av resolution). Resolution har egenskapen att vara komplett för en viktig klass av logiska problem, dvs. det är den enda operation som är nödvändig för att lösa alla problem i klassen.