Oändlighet

Matematiska oändligheter

De gamla grekerna uttryckte oändlighet med ordet apeiron, som hade konnotationer av att vara obegränsad, obestämd, odefinierad och formlös. Ett av de tidigaste uppslagen av oändlighet i matematiken gäller förhållandet mellan diagonalen och sidan i en kvadrat. Pythagoras (ca 580-500 f.Kr.) och hans anhängare trodde till en början att alla aspekter av världen kunde uttryckas genom ett arrangemang som bara omfattade hela tal (0, 1, 2, 3,…), men de blev förvånade när de upptäckte att diagonalen och sidan av en kvadrat är inkommensurabla – det vill säga att deras längder inte båda kan uttryckas som helhetsmultiplar av någon gemensam enhet (eller måttstock). I modern matematik uttrycks denna upptäckt genom att säga att förhållandet är irrationellt och att det är gränsen för en ändlös, icke-repetitiv decimalserie. I fallet med en kvadrat med sidor av längden 1 är diagonalen kvadratroten av√2, skriven som 1,414213562…, där ellipsen (…) anger en ändlös sekvens av siffror utan mönster.

Både Platon (428/427-348/347 f.Kr.) och Aristoteles (384-322 f.Kr.) delade den generella grekiska avskyen för begreppet oändlighet. Aristoteles påverkade det efterföljande tänkandet under mer än ett årtusende med sitt förkastande av ”faktisk” oändlighet (rumslig, tidsmässig eller numerisk), som han skiljde från den ”potentiella” oändligheten i form av att kunna räkna utan slut. För att undvika användningen av faktisk oändlighet utvecklade Eudoxus av Cnidus (ca 400-350 f.Kr.) och Archimedes (ca 285-212/211 f.Kr.) en teknik, som senare blev känd som utmattningsmetoden, där ett område beräknades genom att måttenheten halverades i successiva steg tills det återstående området var lägre än ett visst fastställt värde (det återstående området var ”uttömt”).

Problemet med oändligt små tal ledde till att den engelske matematikern Isaac Newton och den tyske matematikern Gottfried Wilhelm Leibniz upptäckte kalkylen i slutet av 1600-talet. Newton införde sin egen teori om oändligt små tal, eller infinitesimaltal, för att motivera beräkningen av derivat, eller lutningar. För att hitta lutningen (dvs. förändringen i y i förhållande till förändringen i x) för en linje som berör en kurva i en given punkt (x, y) fann han det användbart att titta på förhållandet mellan dy och dx, där dy är en infinitesimal förändring i y som produceras genom att flytta ett infinitesimalt belopp dx från x. Infinitesimaltalen kritiserades starkt, och en stor del av analysens tidiga historia kretsade kring försök att hitta en alternativ, rigorös grund för ämnet. Användningen av infinitesimaltal fick slutligen en fast grund i och med utvecklingen av icke-standardiserad analys av den tyskfödde matematikern Abraham Robinson på 1960-talet.

En mer direkt användning av oändlighet i matematiken uppstår vid försök att jämföra storlekarna av oändliga mängder, som t.ex. mängden punkter på en linje (reella tal) eller mängden räknetal. Matematiker slås snabbt av att vanliga intuitioner om tal är missvisande när man talar om oändliga storlekar. Medeltida tänkare var medvetna om det paradoxala faktum att linjesegment av varierande längd tycktes ha samma antal punkter. Rita till exempel två koncentriska cirklar, varav den ena har dubbelt så stor radie (och därmed dubbelt så stor omkrets) som den andra, enligt figuren. Överraskande nog kan varje punkt P på den yttre cirkeln paras ihop med en unik punkt P′ på den inre cirkeln genom att dra en linje från deras gemensamma centrum O till P och märka dess skärningspunkt med den inre cirkeln P′. Intuitionen antyder att den yttre cirkeln borde ha dubbelt så många punkter som den inre cirkeln, men i det här fallet verkar oändlighet vara detsamma som två gånger oändlighet. I början av 1600-talet tog den italienske vetenskapsmannen Galileo Galilei upp detta och ett liknande icke-intuitivt resultat som nu är känt som Galileos paradox. Galileo visade att mängden av räknebara tal kan sättas i en en-till-en-korrespondens med den till synes mycket mindre mängden av deras kvadrater. På samma sätt visade han att mängden räknetal och deras dubbeltal (dvs. mängden jämna tal) kan paras ihop. Galileo drog slutsatsen att ”vi kan inte tala om oändliga kvantiteter som att den ena är större eller mindre än eller lika med den andra”. Sådana exempel ledde till att den tyske matematikern Richard Dedekind 1872 föreslog en definition av en oändlig mängd som en mängd som kan sättas i ett ett ett-till-ett-förhållande med någon riktig delmängd.

Förvirringen kring oändliga tal löstes av den tyske matematikern Georg Cantor med början 1873. Först visade Cantor rigoröst att mängden rationella tal (bråk) är lika stor som de räknebara talen; därför kallas de räknebara, eller denumerable. Detta kom naturligtvis inte som någon riktig chock, men senare samma år bevisade Cantor det överraskande resultatet att inte alla oändligheter är lika stora. Med hjälp av ett så kallat ”diagonalargument” visade Cantor att storleken på de räknande talen är strikt mindre än storleken på de verkliga talen. Detta resultat är känt som Cantors sats.

För att jämföra mängder skiljer Cantor först mellan en specifik mängd och det abstrakta begreppet dess storlek, eller kardinalitet. Till skillnad från en ändlig mängd kan en oändlig mängd ha samma kardinalitet som en korrekt delmängd av sig själv. Cantor använde ett diagonalt argument för att visa att kardinaliteten hos en mängd måste vara mindre än kardinaliteten hos dess potensmängd, dvs. den mängd som innehåller alla möjliga delmängder av den givna mängden. I allmänhet har en mängd med n element en potensmängd med 2n element, och dessa två kardinaliteter är olika även när n är oändligt. Cantor kallade storlekarna av sina oändliga mängder för ”transfinita kardinaliteter”. Hans argument visade att det finns transfinita kardinalerna av oändligt många olika storlekar (t.ex. kardinalerna för mängden räknetal och mängden reella tal).

De transfinita kardinalerna inkluderar aleph-null (storleken på mängden hela tal), aleph-one (den nästa större oändligheten) och kontinuum (storleken på de reella talen). Dessa tre tal skrivs också som ℵ0, ℵ1 respektive c. Per definition är ℵ0 mindre än ℵ1, och enligt Cantors sats är ℵ1 mindre än eller lika med c. Tillsammans med en princip som kallas valets axiom kan bevismetoden för Cantors sats användas för att säkerställa en oändlig sekvens av transfinita kardinaler som fortsätter förbi ℵ1 till sådana tal som ℵ2 och ℵℵ0.

Kontinuumsproblemet är frågan om vilken av aleferna som är lika med kontinuumskardinalen. Cantor gissade att c = ℵ1; detta är känt som Cantors kontinuumshypotes (CH). CH kan också ses som att varje uppsättning punkter på linjen antingen måste vara räkningsbar (av storlek mindre än eller lika med ℵ0) eller måste ha en storlek som är lika stor som hela rummet (vara av storlek c).

I början av 1900-talet utvecklades en grundlig teori om oändliga mängder. Denna teori är känd som ZFC, vilket står för Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice. CH är känd för att vara omöjlig att avgöra på grundval av axiomen i ZFC. År 1940 kunde den österrikiskfödde logikern Kurt Gödel visa att ZFC inte kan motbevisa CH, och 1963 visade den amerikanske matematikern Paul Cohen att ZFC inte kan bevisa CH. Mängdteoretiker fortsätter att utforska sätt att utvidga ZFC:s axiom på ett rimligt sätt för att lösa CH. Nya arbeten tyder på att CH kan vara falsk och att den sanna storleken på c kan vara den större oändligheten ℵ2.

.