Det finns två separata artiklar i detta arkiv: ”Hur vet vi om grekisk matematik?” och ”Hur vet vi om grekiska matematiker?”. Det finns en allmän uppfattning att den fråga som ställs i denna artikel, om grekisk matematik snarare än grekiska matematiker, är lätt att besvara. Kanske är allt vi behöver göra för att besvara den att läsa de matematiska avhandlingar som de grekiska matematikerna skrev. Vi kanske tror, mycket naivt, att även om en del av de ursprungliga texterna har gått förlorade borde det finnas tillräckligt mycket kvar för att vi ska kunna skaffa oss en utmärkt bild av den grekiska matematiken.
Sanningen är dock inte alls lika enkel, och vi kommer att illustrera det sätt på vilket de grekiska matematiska texterna har kommit ner till oss genom att först titta på det kanske mest berömda exemplet, nämligen Euklids Elementar. När vi läser Heaths The Thirteen Books of Euclid’s Elements, läser vi då en engelsk översättning av de ord som Euklid skrev 300 år före Kristus? För att besvara denna fråga måste vi undersöka hur Elements har nått oss, och mer allmänt hur de gamla grekiska matematikernas skrifter har bevarats.
Tämligen överraskande nog finns originaltexter bevarade från den babyloniska matematikens tidigare epok. Babylonierna skrev på tavlor av obränd lera och använde sig av kilskrift. Symbolerna pressades in i mjuka lerplattor med den snedställda kanten på en stylus och hade därför ett kilformat utseende (och därav namnet kilskrift). Många tavlor från omkring 1700 f.Kr. finns kvar och vi kan läsa originaltexterna. Grekerna började dock använda papyrusrullar som de skrev sina verk på.
Papyrus kommer från en gräsliknande växt som odlas i Nildeltaregionen i Egypten och som hade använts som skrivmaterial så långt tillbaka som 3000 f.Kr. Det användes dock inte av grekerna förrän omkring 450 f.Kr. eftersom de tidigare endast hade en muntlig tradition av att överföra kunskap genom sina elever. I takt med att skriftliga dokument utvecklades använde de också skrivtavlor av trä och vaxtavlor för arbeten som inte var avsedda att vara permanenta. Ibland har skrift från denna period överlevt på ostraka, som är keramikfragment med inskriptioner. Man antar att den första kopian av Elementen skulle ha skrivits på en papyrusrulle som, om den var typisk för sådana rullar, skulle ha varit cirka 10 meter lång. Dessa rullar var ganska ömtåliga och lätt rivna, så de tenderade att skadas om de användes mycket. Även om de lämnades orörda ruttnade de ganska snabbt, utom under särskilt torra klimatförhållanden som de som råder i Egypten. Det enda sättet att bevara sådana verk var att låta göra nya kopior ganska ofta, och eftersom detta uppenbarligen var ett stort företag skulle det bara göras för texter som ansågs vara av stor betydelse.
Det är därför lätt att förstå varför ingen fullständig grekisk matematiktext som är äldre än Euklids Elementar har överlevt. Elementen ansågs vara ett så fint verk att det gjorde de äldre matematiska texterna föråldrade, och ingen tänkte fortsätta att kopiera dessa äldre texter på nya papyrusrullar bara för att bevara dem i historiskt syfte. Elements kopierades kontinuerligt, men det finns två tydliga problem som uppstår när verk som detta kopieras. För det första kan de ha kopierats av någon som inte hade någon teknisk kunskap om det material som kopierades. I detta fall skulle många fel begås i kopieringsprocessen (även om detta, som vi ska se nedan, kan användas av historiker till deras fördel). Å andra sidan kan kopian ha gjorts av någon med stor kunskap som kände till senare utveckling inom de ämnen som beskrivs och därför kan ha lagt till material som inte fanns i originaltexten.
Från 300 f.Kr. till dess att bokformen codex utvecklades måste Elementen ha kopierats många gånger. Kodexen bestod av platta ark av material som viktes och syddes ihop för att producera något som är mycket mer igenkännbart som en bok. Tidiga kodicexar tillverkades av papyrus, men senare ersattes detta av pergament. Kodicer började dyka upp runt det andra århundradet e.Kr. men de var inte den huvudsakliga bäraren av verk förrän på det fjärde århundradet.
Det skedde inte bara en utveckling av det material som verken skrevs på utan även av den skrift som användes för att skriva. På de ursprungliga papyrusrullarna var allt skrivet med stora bokstäver utan mellanslag mellan orden. Det krävdes mycket material för att skriva relativt lite och det var också svårt att läsa. Minuskelskriften, som utvecklades omkring 800 e.Kr., bestod av små bokstäver och var mycket mer kompakt och lättläst. En process för att förvandla de gamla versalskrifterna utan mellanrum till minuskler började och mycket av de matematiska skrifter som har överlevt har gjort det eftersom de kopierades till detta nya format.
Vi har nu nått fram till den äldsta bevarade kompletta kopian av Elementen som skrevs i minuskler år 888 e.Kr. Arethas, biskop i Caesarea Cappadociae (nu i centrala Turkiet), byggde upp ett bibliotek med religiösa och matematiska verk, och ett av de åtta verk från detta bibliotek som har överlevt är Elementarerna, kopierat av skribenten Stephanus för Arethas. Kostnaden för Arethas var 14 guldmynt, ungefär en femtedel av vad en skribent kan förvänta sig att få på ett år. Låt oss kalla detta manuskript av Euklides element E888 för att göra det lättare att hänvisa till det. Det finns ett antal punkter som vi nu bör ta upp:
ii) Även om E888 är den äldsta bevarade fullständiga texten av Elementarerna finns det äldre fragment (se t.ex. och ). Sex särskilt gamla fragment (från omkring 225 f.Kr.) av vad som kan vara delar av texten hittades på Elephantine Island 1906. Experter diskuterar om dessa skrevs av någon som studerade Elementen eller undersökte en bok som Euklid införlivade i Elementen.
iii) Vissa överlevande texter som skrevs senare än E888 är ändå baserade på en tidigare version av Elementen än E888.
iv) Manuskriptet E888 innehåller, vilket är typiskt för sådana manuskript, anteckningar som gjordes på det tidigare exemplar som skribenten Stephanus använde och som han kopierade på E888. Det innehåller också anteckningar som gjorts av senare läsare.
v) De flesta av de manuskript av Elementen som har överlevt är baserade på en version med kommentarer och tillägg, framtagen av Theon av Alexandria (kanske med hjälp av hans dotter Hypatia) på 400-talet e.Kr. E888 är verkligen baserad på Theons arbete.
vi) De första versionerna av Elements som dök upp i Europa under medeltiden var inte översättningar av någon av dessa grekiska texter till latin. Vid denna tid var inga grekiska texter av Elementen kända och de enda versionerna av Elementen var de som hade översatts till arabiska.
vii) Det är värt att notera att skälet som ofta anges till att inga tidigare kopior av texter överlevt är att araberna brände biblioteket i Alexandria år 642 e.Kr. Det visar sig dock att det inte finns någon sanning i historien om att araberna brände detta bibliotek, se till exempel .
I själva verket gjordes den första arabiska översättningen av al-Hajjaj i början av 800-talet. En annan översättning av Hunayn reviderades av Thabit ibn Qurra också på 800-talet. Gherard av Cremona översatte Thabits version till latin på 1100-talet. En tidigare latinsk översättning från arabiska av Adelard av Bath omkring 1120 finns kvar. Dessa översättningar från arabiska är alla av versioner som går tillbaka till utgåvan av Theon av Alexandria.
Sambanden mellan de olika versionerna av ett stort antal grekiska matematiska manuskript utarbetades på ett briljant sätt av den danske forskaren J L Heiberg mot slutet av 1800-talet. Det skulle vara omöjligt att göra rättvisa åt det vetenskapliga arbete som var förknippat med en sådan uppgift, men vi anger åtminstone det sätt på vilket den angrips. Om vi jämför två manuskript AAA och BBB och finner att de fel som finns i AAA också finns i BBB, men att det finns några fel i BBB som inte finns i AAA, är det rimligt att dra slutsatsen att BBB har kopierats från AAA eller att det har kopierats från en kopia av AAA. Om vi finner att AAA och BBB har gemensamma fel, men att var och en av dem också har egna fel, är det troligt att både AAA och BBB har kopierats från CCC. Om inget manuskript har överlevt som passar in på CCC:s roll kan CCC rekonstrueras från AAA och BBB med en viss grad av säkerhet.
Med hjälp av metoder av denna typ visade Heiberg att alla utom ett av de överlevande manuskripten av Elementarerna härstammar från Theons av Alexandrias utgåva. Det ena undantaget byggde på en tidigare version av texten än Theons utgåva, men denna tidigare version var i sig senare än den version som Theon måste ha byggt sin utgåva på. Mellan 1883 och 1888 publicerade Heiberg en utgåva av Elementar som var så nära originalet som han kunde åstadkomma (se ). Heaths utgåva från 1908 ( är en senare utgåva av detta verk) baserades på Heibergs utgåva och innehåller en beskrivning av de olika manuskript som har överlevt.
Vi har bara gett en kortfattad indikation på hur Elementen har kommit till oss. Vi hänvisar till och för en detaljerad beskrivning. Låt oss nu övergå till verk av den kanske störste av de grekiska matematikerna, nämligen Archimedes.
William av Moerbeke (1215-1286) var ärkebiskop i Korint och en klassisk forskare vars latinska översättningar av grekiska verk spelade en viktig roll i överföringen av grekisk kunskap till det medeltida Europa. Han hade två grekiska manuskript av Archimedes verk och han gjorde sina latinska översättningar från dessa manuskript. Den första av de två grekiska handskrifterna har inte setts sedan 1311 då den förmodligen förstördes. Det andra manuskriptet överlevde längre och fanns säkert kvar fram till 1500-talet, varefter det också försvann. Under åren mellan den tid då Vilhelm av Moerbeke gjorde sin latinska översättning och dess försvinnande kopierades det andra manuskriptet flera gånger och några av dessa kopior har bevarats. Fram till 1899 hade Heiberg inte hittat några källor till Archimedes verk som inte var baserade på de latinska översättningarna av William av Moerbeke eller på de kopior av det andra grekiska manuskriptet som han använde i sin översättning.
År 1899 inträffade en exceptionellt viktig händelse i vår förståelse av Archimedes verk. En Archimedes-palimpsest fanns med i en katalog över 890 verk i biblioteket i Metochion of the Holy Sepulchre i Istanbul. År 1906 kunde Heiberg börja undersöka Archimedes palimpsest i Istanbul. Vad exakt undersökte Heiberg? En palimpsest är en text som har tvättats så att en annan text kan skrivas ovanpå. Den underliggande texten, i det här fallet Archimedes verk, sägs vara ”i palimpsest”. De två främsta skälen till att göra detta var antingen kostnader, det var billigare att återanvända ett gammalt pergament i stället för att köpa ett nytt, eller så förstördes ofta grekiska texter avsiktligt eftersom det av vissa kristna betraktades som en helig handling att förstöra en hednisk text och ersätta den med en kristen text.
Arkimedes palimpsest hade kopierats på 900-talet av en munk i ett grekisk-ortodoxt kloster i Konstantinopel. På 1100-talet hade sedan pergamentet tvättats och religiösa texter skrivits ovanpå. Ursprungligen var sidorna cirka 30 cm x 20 cm men när de återanvändes viktades sidorna på mitten för att göra en bok på 20 cm x 15 cm med 174 sidor. Detta innebar naturligtvis att de nya texterna skrevs i rät vinkel mot Archimedes-texten och eftersom den var inbunden som en bok fanns en del av Archimedes-texten i ryggen på den ”nya” 1100-talsboken. För att göra Heibergs uppgift ännu svårare hade sidorna i Archimedes-texten använts i en godtycklig ordning när den nya boken gjordes. Heiberg hade dock alla de färdigheter som krävdes för att hantera dessa problem.
Vad hittade Heiberg? Palimpsestet innehöll fyra av Archimedes verk som redan var kända, men versionerna på palimpsestet var oberoende av de två försvunna manuskript som Vilhelm av Moerbeke använde i sina latinska översättningar. Detta var ett spännande fynd för forskare som ville få mer insikt i det ursprungliga innehållet i Archimedes’ verk. Ännu bättre är att palimpsestet också innehöll en text av On floating bodies som fram till dess endast var känd genom latinska översättningar. Det bästa av allt var dock att man på palimpsestet hittade ett verk av Archimedes som det inte fanns någon kopia av på något språk innan Heiberg studerade palimpsestet. Det var den oerhört viktiga Method of mechanical theorems som vi beskriver i Archimedes biografi.
Heiberg publicerade sin rekonstruktion av Archimedes verk som hittats i palimpsestet medan själva palimpsestet förblev i klostret i Istanbul. Men innan publiceringen av Heibergs nya utgåva av Archimedes’ verk som innehåller dessa anmärkningsvärda nya upptäckter var klar, störtades regionen i krig tillsammans med resten av Europa. Under första världskriget planerade de allierade att dela upp det osmanska riket, men Mustafa Kemal, senare känd som Atatürk, hade andra idéer. Atatürk mötte lokala uppror, officiella ottomanska styrkor som var emot honom och grekiska väpnade styrkor. Turkiet förklarades dock som en suverän nation i januari 1921, men senare samma år gjorde de grekiska arméerna stora framryckningar och nådde nästan fram till Ankara. Överlevnaden av biblioteket i Metochion of the Holy Sepulchre i Istanbul kunde inte garanteras mitt under striderna, och överhuvudet för den grekisk-ortodoxa kyrkan begärde att böckerna från biblioteket skulle skickas till Greklands nationalbibliotek för att garantera deras säkerhet. Av de 890 verken i biblioteket nådde endast 823 fram till Greklands nationalbibliotek och Archimedes palimpsest var inte en av dem.
Exakt vad som hände med Archimedes palimpsest är oklart. Det verkar ha varit i händerna på en okänd fransk samlare från 1920-talet även om palimpsestet förblev officiellt försvunnet och de flesta antog att det hade förstörts. Den franska samlaren kan ha sålt den ganska nyligen, men allt vi vet med säkerhet är att palimpsestet dök upp på auktion hos Christie’s i New York 1998 för en anonym säljares räkning. Den ställdes ut med ryggen uppbruten för att avslöja all den originaltext som fanns i ryggen när den undersöktes av Heiberg. Den såldes till en anonym köpare för 2 miljoner dollar den 29 oktober 1998 men den nya ägaren har gått med på att göra den tillgänglig för vetenskaplig forskning.
Klicka på bilden ovan för att se en större version.
Ett antal mysterier kvarstår kring palimpsestet förutom vem den nuvarande ägaren är:
Vem ägde palimpsestet under åren 1922-1998?
Palimpsestet hade ett antal ikoner på sig när det ställdes ut av Christie’s i New York 1998, men Heiberg hade inte nämnt några ikoner på verket. Har ikonerna lagts till av en av ägarna för att försöka öka dess värde?
Diagrammen i versionen av On floating bodies i palimpsestet skiljer sig från dem i översättningen av William of Moerbeke. Ännu märkligare är att de skiljer sig från dem som förekommer i Heibergs version av On floating bodies i vilken texten från palimpsestet finns med. Varifrån kom diagrammen i Heibergs version om inte från palimpsesten?