Elektroner är ett exempel på en typ av partikel som kallas fermion. Andra fermioner är bland annat protoner och neutroner. Förutom sin laddning och massa har elektroner en annan grundläggande egenskap som kallas spin. En partikel med spinn beter sig som om den har något inneboende vinkelmoment. Detta gör att varje elektron har en liten magnetisk dipol. Spinkvantumtalet är projektionen längs en godtycklig axel (i läroböckerna vanligen kallad z-axeln) av spinnet hos en partikel uttryckt i enheter av h. Elektroner har spinn ½, som kan riktas in på två möjliga sätt, vilket vanligen kallas ”spinn upp” eller ”spinn ner”.
Alla fermioner har ett halvt heltals spinn. En partikel som har heltalsspinn kallas en boson. Fotoner, som har spinn 1, är exempel på bosoner. En konsekvens av fermionernas halvt heltalsspinn är att detta innebär en begränsning för beteendet hos ett system som innehåller mer än en fermion.
Denna begränsning är Paulis uteslutningsprincip, som säger att inga två fermioner kan ha exakt samma uppsättning kvantnummer. Det är av denna anledning som endast två elektroner kan ockupera varje elektronenerginivå – en elektron kan ha spinn uppåt och den andra kan ha spinn nedåt, så att de har olika spinkvantumtal, trots att elektronerna har samma energi.
Dessa begränsningar för beteendet hos ett system med många fermioner kan behandlas statistiskt. Resultatet är att elektronerna kommer att fördelas på de tillgängliga energinivåerna i enlighet med Fermis Dirac-fördelning:
\
där f(ε) är ockupationssannolikheten för ett tillstånd med energi ε, kB är Boltzmanns konstant, μ (den grekiska bokstaven mu) är den kemiska potentialen och T är temperaturen i Kelvin.
Fördelningen beskriver ockupationssannolikheten för ett kvanttillstånd med energin E vid en temperatur T. Om energierna för de tillgängliga elektrontillstånden och tillståndenas degeneration (antalet elektroners energitillstånd som har samma energi) båda är kända, kan denna fördelning användas för att beräkna termodynamiska egenskaper hos system av elektroner.
Vid den absoluta nollpunkten definieras värdet av den kemiska potentialen, μ, som Fermi-energin. Vid rumstemperatur är den kemiska potentialen för metaller praktiskt taget densamma som Fermi-energin – vanligtvis är skillnaden endast av storleksordningen 0,01 %. Det är inte förvånande att den kemiska potentialen för metaller vid rumstemperatur ofta antas vara Fermi-energin. För en ren odopad halvledare vid ändlig temperatur ligger den kemiska potentialen alltid halvvägs mellan valensbandet och konduktionsbandet. Som vi kommer att se i ett senare avsnitt av denna TLP har den kemiska potentialen i extrinsiska (dopade) halvledare ett betydande temperaturberoende.
För att kvalitativt förstå elektronernas beteende vid ändlig temperatur i metaller och rena odopade halvledare är det uppenbarligen tillräckligt att behandla μ som en konstant i en första approximation. Med denna approximation kan Fermi-Dirac-fördelningen plottas vid flera olika temperaturer. I figuren nedan har μ satts till 5 eV.
Från denna figur är det tydligt att fördelningen vid den absoluta nollpunkten är en stegfunktion. Den har värdet 1 för energier under Fermi-energin och värdet 0 för energier över. För ändliga temperaturer blir fördelningen utspädd, eftersom vissa elektroner börjar bli termiskt exciterade till energinivåer över den kemiska potentialen, μ. Figuren visar att fördelningsfunktionen vid rumstemperatur fortfarande inte är särskilt långt ifrån att vara en stegfunktion.
föregående | nästa