Nieskończoność

Nieskończoność matematyczna

Starożytni Grecy wyrażali nieskończoność słowem apeiron, które miało konotacje bycia nieograniczonym, nieokreślonym, nieokreślonym i bezkształtnym. Jedno z najwcześniejszych pojawień się nieskończoności w matematyce dotyczy stosunku przekątnej do boku kwadratu. Pitagoras (ok. 580-500 p.n.e.) i jego zwolennicy początkowo wierzyli, że każdy aspekt świata można wyrazić za pomocą układu obejmującego tylko liczby całkowite (0, 1, 2, 3,…), ale z zaskoczeniem odkryli, że przekątna i bok kwadratu są niewspółmierne – to znaczy, że ich długości nie mogą być wyrażone jako wielokrotności liczb całkowitych jakiejkolwiek wspólnej jednostki (lub miary). We współczesnej matematyce odkrycie to wyraża się przez stwierdzenie, że stosunek ten jest irracjonalny i że jest to granica nieskończonego, niepowtarzającego się szeregu dziesiętnego. W przypadku kwadratu o boku długości 1 przekątna jest pierwiastkiem kwadratowym z√2, zapisanym jako 1,414213562…, gdzie wielokropek (…) wskazuje na nieskończoną sekwencję cyfr bez wzoru.

Zarówno Platon (428/427-348/347 p.n.e.), jak i Arystoteles (384-322 p.n.e.) podzielali powszechny grecki wstręt do pojęcia nieskończoności. Arystoteles wpłynął na późniejszą myśl na ponad tysiąclecie swoim odrzuceniem „rzeczywistej” nieskończoności (przestrzennej, czasowej lub liczbowej), którą odróżniał od „potencjalnej” nieskończoności polegającej na możliwości liczenia bez końca. Aby uniknąć posługiwania się nieskończonością rzeczywistą, Eudoksos z Cnidus (ok. 400-350 p.n.e.) i Archimedes (ok. 285-212/211 p.n.e.) opracowali technikę, znaną później jako metoda wyczerpania, polegającą na obliczaniu obszaru przez zmniejszanie jednostki miary o połowę w kolejnych etapach, aż pozostały obszar nie przekroczy pewnej ustalonej wartości (pozostały obszar zostanie „wyczerpany”).

Kwestia nieskończenie małych liczb doprowadziła do odkrycia rachunku w późnych latach 1600 przez angielskiego matematyka Isaaca Newtona i niemieckiego matematyka Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Newton wprowadził własną teorię nieskończenie małych liczb, czyli infinitezymaliów, aby uzasadnić obliczanie pochodnych, czyli nachyleń. Aby znaleźć nachylenie (czyli zmianę y w stosunku do zmiany x) dla prostej dotykającej krzywej w danym punkcie (x, y), uznał za użyteczne spojrzeć na stosunek dy do dx, gdzie dy jest nieskończenie małą zmianą w y powstałą przez przesunięcie nieskończenie małej ilości dx od x. Nieskończenie małe liczby były ostro krytykowane i duża część wczesnej historii analizy obracała się wokół wysiłków znalezienia alternatywnej, rygorystycznej podstawy dla tego tematu. Użycie liczb nieskończonych ostatecznie zyskało solidne podstawy wraz z rozwojem analizy niestandardowej przez urodzonego w Niemczech matematyka Abrahama Robinsona w latach sześćdziesiątych XX wieku.

Bardziej bezpośrednie zastosowanie nieskończoności w matematyce pojawia się przy próbach porównywania rozmiarów zbiorów nieskończonych, takich jak zbiór punktów na prostej (liczby rzeczywiste) lub zbiór liczb wymiernych. Matematyków szybko uderza fakt, że zwykłe intuicje dotyczące liczb są mylące, gdy mowa o nieskończonych wielkościach. Średniowieczni myśliciele byli świadomi paradoksalnego faktu, że odcinki linii o różnych długościach zdają się mieć tę samą liczbę punktów. Na przykład, narysujmy dwa koncentryczne okręgi, jeden o promieniu dwa razy większym od drugiego (a więc i dwa razy większym od obwodu), jak pokazano na rysunku. Co zaskakujące, każdy punkt P na zewnętrznym okręgu można połączyć z unikalnym punktem P′ na wewnętrznym okręgu, rysując prostą od ich wspólnego środka O do P i oznaczając jej punkt przecięcia z wewnętrznym okręgiem P′. Intuicja podpowiada, że okrąg zewnętrzny powinien mieć dwa razy więcej punktów niż okrąg wewnętrzny, ale w tym przypadku nieskończoność wydaje się być tym samym, co podwójna nieskończoność. Na początku 1600 roku, włoski naukowiec Galileo Galilei zajął się tym i podobnym nieintuicyjnym wynikiem, znanym obecnie jako paradoks Galileusza. Galileusz wykazał, że zbiór liczb wymiernych można ująć w relacji jeden do jednego z pozornie dużo mniejszym zbiorem ich kwadratów. Podobnie wykazał, że zbiór liczb wymiernych i ich podwojeń (czyli zbiór liczb parzystych) można połączyć w pary. Galileusz doszedł do wniosku, że „nie możemy mówić o nieskończonych wielkościach jako o tych, które są większe, mniejsze lub równe innym”. Takie przykłady doprowadziły niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872 roku do zaproponowania definicji zbioru nieskończonego jako takiego, który może być umieszczony w relacji jeden do jednego z jakimś właściwym podzbiorem.

Zakłopotanie związane z liczbami nieskończonymi zostało rozwiązane przez niemieckiego matematyka Georga Cantora począwszy od 1873 roku. Najpierw Cantor rygorystycznie wykazał, że zbiór liczb racjonalnych (ułamków) jest tej samej wielkości co liczby liczące; stąd nazywa się je policzalnymi lub denumerowalnymi. Oczywiście nie było to żadnym szokiem, ale jeszcze w tym samym roku Cantor udowodnił zaskakujący wynik, że nie wszystkie nieskończoności są równe. Używając tak zwanego „argumentu przekątnej”, Cantor pokazał, że rozmiar liczb wymiernych jest ściśle mniejszy niż rozmiar liczb rzeczywistych. Wynik ten znany jest jako twierdzenie Cantora.

Aby porównać zbiory, Cantor rozróżnił najpierw konkretny zbiór i abstrakcyjne pojęcie jego wielkości, czyli kardynalności. W przeciwieństwie do zbioru skończonego, zbiór nieskończony może mieć taką samą kardynalność jak właściwy podzbiór samego siebie. Cantor użył argumentu z przekątnej, by pokazać, że kardynalność dowolnego zbioru musi być mniejsza niż kardynalność jego zbioru potęgowego – tzn. zbioru, który zawiera wszystkie możliwe podzbiory danego zbioru. W ogólności, zbiór o n elementach ma zbiór potęgowy o 2n elementach, a te dwie kardynalności są różne nawet wtedy, gdy n jest nieskończone. Cantor nazwał wielkości swoich nieskończonych zbiorów „kardynalami transfinitycznymi”. Jego argumenty pokazały, że istnieją kardynały transfinityczne o nieskończenie wielu różnych wielkościach (takie jak kardynały zbioru liczb liczących i zbioru liczb rzeczywistych).

Kardynały transfinityczne obejmują alef-null (wielkość zbioru liczb całkowitych), alef-jeden (następna większa nieskończoność) i continuum (wielkość liczb rzeczywistych). Te trzy liczby zapisuje się również jako ℵ0, ℵ1 i c, odpowiednio. Z definicji ℵ0 jest mniejsza od ℵ1, a z twierdzenia Cantora ℵ1 jest mniejsza lub równa c. Wraz z zasadą znaną jako aksjomat wyboru, metoda dowodu twierdzenia Cantora może być użyta do zapewnienia nieskończonego ciągu nieskończonych kardynałów ciągnących się od ℵ1 do takich liczb jak ℵ2 i ℵℵ0.

Problem continuum to pytanie o to, która z alef jest równa kardynalności continuum. Cantor przypuszczał, że c = ℵ1; jest to znane jako hipoteza Cantora o continuum (CH). O CH można też myśleć jako o stwierdzeniu, że dowolny zbiór punktów na prostej albo musi być przeliczalny (o rozmiarze mniejszym lub równym ℵ0), albo musi mieć rozmiar tak duży jak cała przestrzeń (być rozmiaru c).

W początkach XX wieku opracowano dokładną teorię zbiorów nieskończonych. Teoria ta znana jest jako ZFC, co jest skrótem od Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice. Wiadomo, że CH jest nierozstrzygalna na podstawie aksjomatów ZFC. W 1940 roku urodzony w Austrii logik Kurt Gödel pokazał, że ZFC nie może obalić CH, a w 1963 roku amerykański matematyk Paul Cohen pokazał, że ZFC nie może udowodnić CH. Teoretycy zbiorów nadal szukają sposobów na rozsądne rozszerzenie aksjomatów ZFC, tak by rozwiązać problem CH. Ostatnie prace sugerują, że CH może być fałszywe i że prawdziwą wielkością c może być większa nieskończoność ℵ2.

.