Logika symboliczna
Michael Genesereth
Wydział Informatyki
Uniwersytet Stanforda
Mimo, że możliwe jest nauczanie Logiki używając tylko języka angielskiego, jest to problematyczne. Zdania w języku naturalnym mogą być złożone; mogą być wieloznaczne; a niezrozumienie znaczenia zdania może prowadzić do błędów w rozumowaniu.
Nawet bardzo proste zdania mogą być kłopotliwe. Tutaj widzimy dwa gramatycznie legalne zdania. Są one takie same we wszystkich, z wyjątkiem ostatniego słowa, ale ich struktura jest zupełnie inna. W pierwszym z nich czasownikiem głównym jest blossoms, podczas gdy w drugim blossoms jest rzeczownikiem, a czasownikiem głównym jest sank.
The cherry blossoms in the Spring.
The cherry blossoms in the Spring sank.
Jako kolejny przykład złożoności gramatycznej, rozważmy następujący fragment zaczerpnięty z umowy najmu Uniwersytetu Michigan. Zdanie w tym przypadku jest na tyle długie, a struktura gramatyczna na tyle złożona, że ludzie muszą często czytać je kilka razy, aby dokładnie zrozumieć, co jest w nim napisane.
Uniwersytet może rozwiązać niniejszą umowę najmu, gdy najemca, po złożeniu wniosku i wykonaniu niniejszej umowy najmu przed zapisaniem się na studia, nie kwalifikuje się do zapisania się na studia lub nie zapisuje się na studia na Uniwersytecie lub opuszcza Uniwersytet w dowolnym czasie przed wygaśnięciem niniejszej umowy najmu, lub z powodu naruszenia jakichkolwiek postanowień niniejszej umowy najmu, lub z powodu naruszenia jakichkolwiek przepisów Uniwersytetu odnoszących się do rezydentów Halls, lub z powodów zdrowotnych, poprzez dostarczenie studentowi pisemnego powiadomienia o tym wypowiedzeniu na 30 dni przed skuteczną datą wypowiedzenia, chyba, że życie, zdrowie lub mienie byłoby zagrożone, najemca angażuje się w sprzedaż lub zakup substancji kontrolowanych wbrew prawu federalnemu, stanowemu lub lokalnemu, lub najemca nie jest już zapisany na studia, lub najemca angażuje się w używanie lub posiadanie broni palnej, materiałów wybuchowych, cieczy łatwopalnych, fajerwerków lub innej niebezpiecznej broni w budynku, lub włącza fałszywy alarm, w których to przypadkach wystarczy maksymalnie 24 godzinne zawiadomienie.
Jako przykład wieloznaczności, załóżmy, że miałbym napisać zdanie W pokoju jest dziewczyna z teleskopem. Dwa możliwe znaczenia tego zdania – patrz rysunek 6. Czy mówię, że w pokoju, w którym jest teleskop, jest dziewczyna? Czy też mówię, że w pokoju jest dziewczynka, która trzyma teleskop?
Rysunek 6 – W pokoju jest dziewczynka z teleskopem.
Takie zawiłości i niejednoznaczności mogą być czasem humorystyczne, jeśli prowadzą do interpretacji, których autor nie zamierzał. Zobacz przykłady poniżej dla niektórych niesławnych nagłówków gazet z wieloma interpretacjami. Używanie formalnego języka eliminuje takie niezamierzone dwuznaczności (i, na dobre lub złe, unika niezamierzonego humoru).
|
Crowds Rushing to See Pope Trample 6 to Death Journal Star, Peoria, 1980
|
||||
|
||||
|
||||
|
Fried Chicken Cooked in Microwave Wins Trip The Oregonian, Portland, 1981
|
Jako ilustrację błędów, które powstają w rozumowaniu ze zdaniami w języku naturalnym, rozważmy następujące przykłady. W pierwszym, używamy przechodniości relacji better, aby wyprowadzić wniosek o względnej jakości szampana i napojów gazowanych z względnej jakości szampana i piwa oraz względnej jakości piwa i napojów gazowanych. So far so good.
Champagne is better than beer.
Beer is better than soda.
Therefore, champagne is better than soda.
Następnie zastanówmy się, co się stanie, gdy zastosujemy tę samą regułę przechodniości w przypadku zilustrowanym poniżej. Forma argumentu jest taka sama jak poprzednio, ale wniosek jest nieco mniej wiarygodny. Problem w tym przypadku polega na tym, że użycie nothing jest składniowo podobne do użycia beer w poprzednim przykładzie, ale w języku angielskim oznacza coś zupełnie innego.
Bad sex is better than nothing.
Nic nie jest lepsze od dobrego seksu.
Dlatego zły seks jest lepszy od dobrego seksu.
Logika symboliczna eliminuje te trudności poprzez użycie formalnego języka do kodowania informacji. Biorąc pod uwagę składnię i semantykę tego języka formalnego, możemy podać precyzyjną definicję pojęcia wniosku logicznego. Co więcej, możemy ustanowić precyzyjne reguły rozumowania, które produkują wszystkie i tylko logiczne wnioski.
W tym względzie istnieje silna analogia między metodami Logiki Formalnej a metodami algebry w szkole średniej. Aby zilustrować tę analogię, rozważmy następujący problem algebry.
Xavier jest trzy razy starszy od Yolandy. Wiek Ksawerego i wiek Yolandy sumują się do dwunastu. Ile lat mają Ksawery i Jolanta?
Typowo, pierwszym krokiem w rozwiązywaniu takiego problemu jest wyrażenie informacji w postaci równań. Jeśli pozwolimy, aby x reprezentowało wiek Ksawerego, a y wiek Jolandy, możemy uchwycić istotne informacje o problemie, jak pokazano poniżej.
x – 3y = 0
x + y = 12
Korzystając z metod algebry, możemy następnie manipulować tymi wyrażeniami, aby rozwiązać problem. Najpierw odejmujemy drugie równanie od pierwszego.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
Następnie dzielimy każdą stronę otrzymanego równania przez -4, aby otrzymać wartość y. Następnie podstawiając z powrotem do jednego z poprzednich równań, otrzymujemy wartość dla x.
x = 9
y = 3
Rozważmy teraz następujący problem logiczny.
Jeśli Maria kocha Pata, to Maria kocha Quincy’ego. Jeśli jest poniedziałek i pada deszcz, to Maria kocha Pata lub Quincy’ego. Jeśli jest poniedziałek i pada deszcz, to czy Mary kocha Quincy’ego?
Tak jak w przypadku problemu algebry, pierwszym krokiem jest formalizacja. Niech p reprezentuje możliwość, że Mary kocha Pata; niech q reprezentuje możliwość, że Mary kocha Quincy’ego; niech m reprezentuje możliwość, że jest poniedziałek; i niech r reprezentuje możliwość, że pada deszcz.
Z tymi skrótami możemy przedstawić istotne informacje tego problemu za pomocą następujących zdań logicznych. Pierwsze mówi, że p implikuje q, tzn. jeśli Maria kocha Pata, to Maria kocha Quincy’ego. Drugie mówi, że m i r implikuje p lub q, tzn. jeśli jest poniedziałek i pada deszcz, to Mary kocha Pata lub Mary kocha Quincy’ego.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
Podobnie jak w przypadku Algebry, Logika Formalna definiuje pewne operacje, których możemy użyć do manipulowania wyrażeniami. Operacja pokazana poniżej jest wariantem tego, co nazywa się Propositional Resolution. Wyrażenia powyżej linii są przesłankami reguły, a wyrażenie poniżej jest wnioskiem.
| p1 ∧ …. ∧ pk | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql |
| r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ … ∨ sn |
| p1 ∧ … ∧ pk ∧ r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ …. ∨ ql ∨ s1 ∨ … ∨ sn |
Istnieją dwa rozwinięcia tej operacji. (1) Jeśli teza po lewej stronie jednego zdania jest taka sama jak teza po prawej stronie drugiego zdania, to można opuścić te dwa symbole, z zastrzeżeniem, że można opuścić tylko jedną taką parę. (2) Jeśli pewna stała powtarza się po tej samej stronie jednego zdania, można usunąć wszystkie jej wystąpienia oprócz jednego.
Możemy użyć tej operacji do rozwiązania problemu życia miłosnego Marysi. Patrząc na dwie przesłanki powyżej, zauważamy, że p występuje po lewej stronie jednego zdania i po prawej stronie drugiego. W związku z tym możemy anulować p i w ten sposób wyprowadzić wniosek, że jeśli jest poniedziałek i pada deszcz, to Mary kocha Quincy’ego lub Mary kocha Quincy’ego.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
Zrzucając powtórzony symbol po prawej stronie, dochodzimy do wniosku, że jeśli jest poniedziałek i pada deszcz, to Mary kocha Quincy’ego.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Przykład ten jest o tyle interesujący, że pokazuje nasz formalny język do kodowania informacji logicznej. Podobnie jak w algebrze, używamy symboli do reprezentowania odpowiednich aspektów świata, o którym mowa, i używamy operatorów do łączenia tych symboli w celu wyrażenia informacji o rzeczach, które te symbole reprezentują.
Przykład ten wprowadza również jedną z najważniejszych operacji w Logice Formalnej, mianowicie Rozdzielczość (w tym przypadku ograniczoną formę Rozdzielczości). Rozdzielczość ma tę własność, że jest kompletna dla ważnej klasy problemów logicznych, tzn. jest jedyną operacją konieczną do rozwiązania każdego problemu z tej klasy.
.