Jaka jest największa liczba na świecie?

Jeśli kiedykolwiek zapytałeś, jaka jest największa liczba podczas lekcji matematyki, jest całkiem prawdopodobne, że jakaś jasna iskra piped up z odpowiedzią wzdłuż linii: „To proste! To oczywiście nieskończoność!”

Jedyny problem z nieskończonością polega na tym, że nie jest ona liczbą jako taką, jak pokazuje poniższa rozmowa między dwiema jasnymi iskrami.

Iskra jasna pierwsza: „Nieskończoność to największa liczba na świecie, to proste!”

Iskra jasna druga: „Cóż, mam dla ciebie większą liczbę – nieskończoność plus jeden!”

Iskra jasna pierwsza ponownie: „Mam liczbę, która pobije twoją – nieskończoność plus jeden, razy milion!”

Rozmowa toczy się w ten sposób przez, jak się wydaje, nieskończoną ilość czasu, dopóki żadna z jasnych iskier nie dojdzie do największej liczby na świecie.

Przed długi czas dwie jasne iskry zdały sobie sprawę, że nieskończoność nie jest tak naprawdę liczbą, jest to bardziej koncepcja. Co nikt nie powiedział dwóch jasnych iskier jeszcze jest o szokujący pomysł, że istnieją różne rozmiary nieskończoności! Jak więc obliczyć największą liczbę?

Nieskończoność liczb liczących

Najprostszym sposobem stworzenia zbioru liczb, który jest nieskończenie wielki, jest liczenie w górę liczbami całkowitymi. Ten zbiór liczb nazywamy liczbami naturalnymi i oczywiście jest on nieskończony, ponieważ możemy liczyć w nieskończoność. Symbol jest używany do oznaczania tego zestawu i oznacza „liczby naturalne”.

Spójrzmy teraz na inną listę liczb i nazwijmy ten zestaw (nasza własna etykieta):

Zestaw jest również nieskończony w rozmiarze, ale wydaje się zawierać jedną liczbę mniej niż . Czy są one tej samej wielkości?

Możemy pokazać, że i są w rzeczywistości tej samej wielkości, pokazując, że istnieje zgodność jeden do jednego między elementami i elementami .

…

Do tej pory powiedzielibyśmy, że rozmiar to po prostu nieskończoność, która jest zapisana jak liczba osiem na boku:.

Jednakże zaraz dowiemy się, że istnieją różne rozmiary nieskończoności, a więc teraz oznaczymy rozmiar jako , co wymawia się jako „alef zero”. jest najmniejszym rozmiarem nieskończoności, a nasz zestaw również ma rozmiar .

Inne zestawy, które mają rozmiar

Istnieje wiele innych zestawów liczb, które mają nieskończony rozmiar . Należą do nich zbiór dodatnich parzystych liczb całkowitych, a także to, co jest znane jako zbiór liczb racjonalnych. Liczby racjonalne są wszystkie liczby, które mogą być zapisane jako ułamki. Jeśli zbiór liczb ma rozmiar to mówi się, że jest policzalny.

Możemy zapisać każdy możliwy ułamek w tabeli, takiej jak ta poniżej. Równoważne ułamki mogą pojawić się więcej niż raz, na przykład , ale możemy łatwo usunąć powtórzenia z tabeli. Następnie możemy narysować wzór na przekątnej, który pozwoli nam ułożyć nasze ułamki w listę. Pozostaje nam teraz zgrabna lista ułamków …

Jeśli mamy listę ułamków, to można je policzyć i dlatego mówi się, że liczby racjonalne są policzalne.

Jak znaleźć rozmiar nieskończoności, który jest większy od?

Nie każdą liczbę można zapisać jako ułamek. Liczby, które nie mogą być zapisane jako ułamki są nazywane liczbami irracjonalnymi. Dobrze znane przykłady obejmują i surdy takie jak i .

Rozszerzenia dziesiętne liczb irracjonalnych takich jak (3.1415926535…) idą w nieskończoność, a te liczby nigdy nie mogą być zapisane jako ułamki, mimo że ludzie lubią używać jako przybliżenia dla .

Spójrzmy teraz na zbiór wszystkich liczb, które są pomiędzy 0 i 1. Ten zbiór będzie zawierać racjonalne liczby, takie jak , jak również irracjonalne liczby, takie jak Ten zbiór liczb jest wyraźnie nieskończony w rozmiarze, jak zawsze możemy myśleć o więcej i więcej liczb, które są zawarte w przedziale (0,1).

W 1873 roku niemiecki matematyk Georg Cantor wymyślił bardzo sprytny dowód, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych w przedziale (0,1) ma rozmiar, który jest większy nieskończoność niż rozmiar zbioru liczb naturalnych .

Podsumowanie słynnego argumentu Cantora diagonal.

Załóżmy, że rozmiar zbioru wszystkich liczb rzeczywistych w przedziale (0,1) jest taki sam jak . Moglibyśmy więc stworzyć listę próbując policzyć liczby rzeczywiste pomiędzy 0 a 1. Mogłaby ona wyglądać tak, gdybyśmy nie byli zbyt logiczni:

Naprawdę sprytnym kolejnym krokiem Cantora było skonstruowanie nowej liczby, której nie ma na liście. Argument Cantora zadziała albo wtedy, gdy użyjemy listy takiej jak powyższa, albo nawet wtedy, gdy żmudnie spróbujemy stworzyć logiczną listę, która spróbuje uchwycić każdą liczbę z przedziału od 0 do 1:

Sprytny sposób Cantora na wybór liczby, której nie ma na liście.

Tej nowej liczby oczywiście nie ma na liście i Cantor znalazł sprzeczność – Cantor pokazał, że nigdy nie można dokonać zgodności jeden do jednego między liczbami naturalnymi a liczbami rzeczywistymi w przedziale (0,1). Cantor udowodnił, że wielkość liczb rzeczywistych jest większa niż wielkość liczb naturalnych! Liczby rzeczywiste są niepoliczalne! Istnieją różne rozmiary nieskończoności!

Podsumowując, odpowiedź na pytanie, jaka jest największa liczba na świecie, nie jest prosta. W skrócie, nie ma największej liczby, można ją liczyć w nieskończoność. Ale można też znaleźć dwie grupy liczb – obie nieskończone w rozmiarze, ale też różne w rozmiarze do siebie. To jest naprawdę niesamowite, aby myśleć o!

Largest Number: Further Reading

Ten artykuł zaczął tylko zarysowywać powierzchnię tego fascynującego i zapierającego dech w piersiach tematu. Jeśli chcesz czytać dalej, spróbuj 'The Continuum Hypothesis’ w Plus Magazine. Jeśli zdecydujesz się studiować matematykę na poziomie magisterskim, będziesz miał szansę studiować to, co jest znane jako teoria zbiorów, obejmująca bardziej szczegółowo tematy omawiane w tym artykule.

Artykuł autorstwa Hazel Lewis

.