Elektrony są przykładem typu cząstek zwanych fermionami. Inne fermiony to protony i neutrony. Oprócz ładunku i masy, elektrony mają inną fundamentalną właściwość zwaną spinem. Cząstka ze spinem zachowuje się tak, jakby posiadała pewien wewnętrzny moment pędu. Powoduje to, że każdy elektron posiada niewielki dipol magnetyczny. Spinowa liczba kwantowa jest rzutem wzdłuż arbitralnej osi (zwykle określanej w podręcznikach jako oś z) spinu cząstki wyrażonego w jednostkach h. Elektrony mają spin ½, który może być ustawiony na dwa możliwe sposoby, zwykle określane jako „spin w górę” lub „spin w dół”.
Wszystkie fermiony mają spin pół-integer. Cząstka, która ma spin całkowity nazywana jest bozonem. Fotony, które mają spin 1, są przykładami bozonów. Konsekwencją pół-integer spin fermionów jest to, że nakłada ograniczenie na zachowanie systemu zawierającego więcej niż jeden fermion.
Tym ograniczeniem jest zasada wykluczenia Pauliego, która mówi, że żadne dwa fermiony nie mogą mieć dokładnie takiego samego zestawu liczb kwantowych. To z tego powodu tylko dwa elektrony mogą zajmować każdy poziom energetyczny elektronu – jeden elektron może mieć spin w górę, a drugi w dół, tak że mają różne liczby kwantowe spinu, mimo że elektrony mają tę samą energię.
Te ograniczenia na zachowanie systemu wielu fermionów mogą być traktowane statystycznie. Wynika z tego, że elektrony będą rozmieszczone na dostępnych poziomach energetycznych zgodnie z rozkładem Diraca Fermiego:
gdzie f(ε) jest prawdopodobieństwem zajęcia stanu o energii ε, kB jest stałą Boltzmanna, μ (grecka litera mu) jest potencjałem chemicznym, a T jest temperaturą w Kelwinach.
Rozkład ten opisuje prawdopodobieństwo zajęcia stanu kwantowego o energii E w temperaturze T. Jeżeli znane są energie dostępnych stanów elektronowych oraz degeneracja stanów (liczba stanów energetycznych elektronów, które mają tę samą energię), rozkład ten może być użyty do obliczenia właściwości termodynamicznych układów elektronów.
W temperaturze zera bezwzględnego wartość potencjału chemicznego, μ, jest określona jako energia Fermiego. W temperaturze pokojowej potencjał chemiczny dla metali jest praktycznie taki sam jak energia Fermiego – zazwyczaj różnica jest rzędu 0,01%. Nic dziwnego, że potencjał chemiczny metali w temperaturze pokojowej jest często przyjmowany jako energia Fermiego. Dla czystego półprzewodnika bez domieszek w skończonej temperaturze, potencjał chemiczny zawsze leży w połowie drogi między pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa. Jednakże, jak zobaczymy w dalszej części tego TLP, potencjał chemiczny w półprzewodnikach zewnątrzpochodnych (domieszkowanych) ma znaczącą zależność od temperatury.
Aby zrozumieć zachowanie elektronów w skończonej temperaturze w sposób jakościowy w metalach i czystych półprzewodnikach bez domieszek, w pierwszym przybliżeniu wystarczy traktować μ jako stałą. Przy takim przybliżeniu, rozkład Fermiego-Diraca może być wykreślony w kilku różnych temperaturach. Na poniższym rysunku μ został ustawiony na 5 eV.
Z tego rysunku jasno wynika, że w temperaturze zera bezwzględnego rozkład jest funkcją schodkową. Ma on wartość 1 dla energii poniżej energii Fermiego, a wartość 0 dla energii powyżej. Dla skończonych temperatur rozkład ulega rozmyciu, ponieważ niektóre elektrony zaczynają być wzbudzane termicznie do poziomów energetycznych powyżej potencjału chemicznego μ. Rysunek pokazuje, że w temperaturze pokojowej funkcja rozkładu nie jest jeszcze zbyt odległa od funkcji schodkowej.
poprzedni | następny