Logarytmy liczb ujemnych nie są zdefiniowane w liczbach rzeczywistych, w ten sam sposób, w jaki pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych nie są zdefiniowane w liczbach rzeczywistych. Jeśli oczekuje się, że znajdziesz log liczby ujemnej, odpowiedź „nieokreślony” jest wystarczająca w większości przypadków.
Możliwe jest oszacowanie jednego, jednak odpowiedź będzie liczbą złożoną. (liczba w postaci #a + bi#, gdzie #i = sqrt(-1)#)
Jeśli znasz liczby złożone i czujesz się komfortowo pracując z nimi, czytaj dalej.
Na początek zacznijmy od ogólnego przypadku:
#log_b (-x) = ?#
Użyjemy zasady zmiany podstawy i przekształcimy na logarytm naturalny, aby później było łatwiej:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Zauważmy, że #ln(-x)# jest tym samym, co #ln(-1 * x)#. Możemy skorzystać z własności dodawania logarytmów i rozdzielić tę część na dwa osobne logi:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Teraz jedynym problemem jest zrozumienie, czym jest #ln(-1)#. Na początku może to wyglądać na rzecz niemożliwą do oszacowania, ale istnieje dość znane równanie znane jako Tożsamość Eulera, które może nam pomóc.
Tożsamość Eulera stwierdza:
#e^(ipi) = -1#
Ten wynik pochodzi z rozwinięcia szeregu potęgowego sinusa i cosinusa. (Nie będę tego wyjaśniał zbyt szczegółowo, ale jeśli jesteś zainteresowany, jest tu fajna strona, która wyjaśnia nieco więcej)
Na razie weźmy po prostu logarytm naturalny z obu stron tożsamości Eulera:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Uproszczone:
#ipi = ln(-1)#
Teraz, gdy wiemy czym jest #ln(-1)#, możemy podstawić z powrotem do naszego równania:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Teraz mamy wzór na znajdowanie logów liczb ujemnych. Jeśli więc chcemy oszacować coś takiego jak #log_2 10#, możemy po prostu wstawić kilka wartości:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#approx 3.3219 + 4.5324i#
.