Biały szum | Li Linguas

Wektor białego szumuEdit

Mówi się, że wektor losowy (to jest, częściowo nieokreślony proces, który produkuje wektory liczb rzeczywistych) jest wektorem białego szumu lub białym wektorem losowym, jeśli jego składniki każdy ma rozkład prawdopodobieństwa z zerową średnią i skończoną wariancją, i są statystycznie niezależne: to jest, ich wspólny rozkład prawdopodobieństwa musi być iloczynem rozkładów poszczególnych składników.

Warunkiem koniecznym (ale na ogół niewystarczającym) statystycznej niezależności dwóch zmiennych jest to, że są one statystycznie nieskorelowane; to znaczy, że ich kowariancja wynosi zero. Dlatego macierz kowariancji R składników wektora białego szumu w o n elementach musi być macierzą diagonalną n na n, gdzie każdy element diagonalny Rii jest wariancją składnika wi; a macierz korelacji musi być macierzą tożsamości n na n.

Jeśli, oprócz tego, że jest niezależna, każda zmienna w w ma również rozkład normalny o zerowej średniej i takiej samej wariancji σ 2 {{displaystyle \sigma ^{2}}.

, mówi się, że w jest wektorem białego szumu gaussowskiego. W takim przypadku wspólny rozkład w jest wielowymiarowym rozkładem normalnym; niezależność między zmiennymi oznacza, że rozkład ten ma symetrię sferyczną w przestrzeni n-wymiarowej. Zatem dowolne ortogonalne przekształcenie wektora spowoduje powstanie białego wektora losowego o rozkładzie gaussowskim. W szczególności, na mocy większości typów dyskretnej transformaty Fouriera, takich jak FFT i Hartleya, transformata W wektora w będzie również gaussowskim wektorem białego szumu; to znaczy, że n współczynników Fouriera wektora w będzie niezależnymi zmiennymi gaussowskimi o zerowej średniej i takiej samej wariancji σ 2 {{2}}.

Spektrum mocy P wektora losowego w można zdefiniować jako wartość oczekiwaną modułu kwadratowego każdego współczynnika jego transformaty Fouriera W, czyli Pi = E(|Wi|2). Zgodnie z tą definicją gaussowski wektor białego szumu będzie miał idealnie płaskie widmo mocy, z Pi = σ2 dla wszystkich i.

Jeśli w jest białym wektorem losowym, ale nie gaussowskim, jego współczynniki Fouriera Wi nie będą całkowicie niezależne od siebie; chociaż dla dużych n i powszechnych rozkładów prawdopodobieństwa zależności te są bardzo subtelne, a ich korelacje parami mogą być przyjęte jako zerowe.

Często w definicji białego szumu używa się słabszego warunku „statystycznie nieskorelowany”, zamiast „statystycznie niezależny”. Jednak niektóre z powszechnie oczekiwanych właściwości białego szumu (takie jak płaskie widmo mocy) mogą nie mieć miejsca dla tej słabszej wersji. Przy takim założeniu, bardziej rygorystyczna wersja może być określana jednoznacznie jako niezależny wektor białego szumu.:str.60 Inni autorzy używają zamiast tego silnie białego i słabo białego.

Przykładem wektora losowego, który jest „gaussowskim białym szumem” w słabym, ale nie w silnym sensie jest x= gdzie x1 jest normalną zmienną losową o zerowej średniej, a x2 jest równe +x1 lub -x1, z równym prawdopodobieństwem. Te dwie zmienne są nieskorelowane i mają indywidualny rozkład normalny, ale nie mają wspólnego rozkładu normalnego i nie są niezależne. Jeśli x jest obrócony o 45 stopni, jego dwie składowe nadal będą nieskorelowane, ale ich rozkład nie będzie już normalny.

W niektórych sytuacjach można rozluźnić definicję, pozwalając, aby każda składowa białego wektora losowego w miała niezerową wartość oczekiwaną μ {{displaystyle }

. Szczególnie w przetwarzaniu obrazów, gdzie próbki są zazwyczaj ograniczone do wartości dodatnich, często przyjmuje się μ {displaystyle \mu }

jako połowę maksymalnej wartości próbki. W takim przypadku współczynnik Fouriera W0 odpowiadający składowej o zerowej częstotliwości (w istocie średnia z wi) również będzie miał niezerową wartość oczekiwaną μ n {{displaystyle \mu {{sqrt {n}}}

; a widmo mocy P będzie płaskie tylko na niezerowych częstotliwościach.

Dyskretny czasowy szum białyEdit

Dyskretny czasowy proces stochastyczny W {{displaystyle W}

jest uogólnieniem wektorów losowych o skończonej liczbie składowych do nieskończenie wielu składowych. Proces stochastyczny czasu dyskretnego W {{displaystyle W}

nazywamy białym szumem, jeżeli jego średnia nie zależy od czasu n {{displaystyle n}

i jest równa zeru, tzn. E ] = 0 {{displaystyle {E} ]=0}

oraz jeśli funkcja autokorelacji R W = E W ] { {displaystyle R_{W}=operatorname {E} W]}

zależy tylko od n {displaystyle n}

, ale nie od k {displaystyle k}

i ma wartość niezerową tylko dla n = 0 {displaystyle n=0}.

, tzn. R W = σ 2 δ {displaystyle R_{W}=sigma ^{2}}delta }

Szum biały czasu ciągłegoEdit

Aby zdefiniować pojęcie „szumu białego” w teorii sygnałów czasu ciągłego, należy zastąpić pojęcie „wektora losowego” sygnałem losowym czasu ciągłego; czyli procesem losowym, który generuje funkcję w {displaystyle w}

parametru rzeczywisto-wartościowego t {{displaystyle t}

O takim procesie mówi się, że jest białym szumem w najsilniejszym sensie, jeśli wartość w ( t ) {\i1}w(t)}

dla dowolnego czasu t {{displaystyle t}

jest zmienną losową, która jest statystycznie niezależna od całej swojej historii przed t {{displaystyle t}

. Słabsza definicja wymaga niezależności tylko między wartościami w ( t 1 ) {displaystyle w(t_{1})}

i w ( t 2 ) {displaystyle w(t_{2})}

w każdej parze różnych czasów t 1 {displaystyle t_{1}}

i t 2 {displaystyle t_{2}}

. Jeszcze słabsza definicja wymaga tylko, aby takie pary w ( t 1 ) {displaystyle w(t_{1}}}

i w ( t 2 ) {displaystyle w(t_{2})}

być nieskorelowane. Podobnie jak w przypadku dyskretnym, niektórzy autorzy przyjmują słabszą definicję „białego szumu” i używają kwalifikatora niezależny, aby odnieść się do jednej z silniejszych definicji. Inni stosują określenia słabo biały i silnie biały, aby je rozróżnić.

Precyzyjna definicja tych pojęć nie jest jednak trywialna, ponieważ niektóre wielkości, które w skończonym przypadku dyskretnym są sumami skończonymi, muszą być zastąpione całkami, które mogą nie być zbieżne. W rzeczy samej, zbiór wszystkich możliwych przypadków sygnału w {przykład w}

nie jest już skończoną przestrzenią R n {{displaystyle {R} ^{n}}

, ale nieskończenie wymiarową przestrzenią funkcyjną. Co więcej, z dowolnej definicji sygnał białego szumu w {{displaystyle w}

musiałby być w zasadzie nieciągły w każdym punkcie; dlatego nawet najprostsze operacje na w {{displaystyle w}}

, jak całkowanie po skończonym przedziale, wymagają zaawansowanej maszynerii matematycznej.

Niektórzy autorzy wymagają, aby każda wartość w ( t ) {displaystyle w(t)}

, aby była rzeczywisto-wartościową zmienną losową z oczekiwaniem μ {displaystyle w(t)}

i pewnej skończonej wariancji σ 2 {displaystyle ^{2}}

. Wtedy kowariancja E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {{displaystyle {E} (w(t_{1})⋅ w(t_{2}))}

pomiędzy wartościami w dwóch chwilach czasowych t 1 {{displaystyle t_{1}}

i t 2 {displaystyle t_{2}}

jest dobrze zdefiniowana: wynosi zero, jeśli czasy są różne, a σ 2 {displaystyle ^{2}}

, jeśli są równe. Jednak z tej definicji wynika, że całka W = ∫ a a + r w ( t ) d t {displaystyle W_{}=int _{a}^{a+r}w(t)\u00}

w dowolnym przedziale o dodatniej szerokości r {displaystyle r}

będzie po prostu szerokością pomnożoną przez wartość oczekiwaną: r μ {{displaystyle r}}

. Ta własność czyniłaby tę koncepcję nieodpowiednią jako model fizycznych sygnałów „białego szumu”.

Dlatego większość autorów definiuje sygnał w {{displaystyle w}

pośrednio, określając niezerowe wartości całek z w ( t ) {displaystyle w(t)}

oraz | w ( t ) | 2 {displaystyle |w(t)|^{2}}

nad dowolnym przedziałem {{displaystyle }

, jako funkcja jego szerokości r {displaystyle r}

. W tym podejściu jednak, wartość w ( t ) { {displaystyle w(t)}

w izolowanym czasie nie może być zdefiniowana jako zmienna losowa rzeczywisto-wartościowa. Również kowariancja E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) {{displaystyle {E} (w(t_{1})⋅ w(t_{2}))}

staje się nieskończona, gdy t 1 = t 2 {displaystyle t_{1}=t_{2}}