Witte ruis | Li Linguas

Witte ruisvectorEdit

Een willekeurige vector (d.w.z. een gedeeltelijk onbepaald proces dat vectoren van reële getallen voortbrengt) is een witte ruisvector of witte willekeurige vector indien de componenten ervan elk een kansverdeling hebben met nulgemiddelde en eindige variantie, en statistisch onafhankelijk zijn: d.w.z. dat hun gezamenlijke kansverdeling het product moet zijn van de verdelingen van de afzonderlijke componenten.

Een noodzakelijke (maar in het algemeen niet voldoende) voorwaarde voor statistische onafhankelijkheid van twee variabelen is dat zij statistisch ongecorreleerd zijn; dat wil zeggen dat hun covariantie nul is. Daarom moet de covariantiematrix R van de componenten van een witte ruisvector w met n elementen een n bij n diagonaalmatrix zijn, waarbij elk diagonaalelement Rii de variantie van component wi is; en de correlatiematrix moet de n bij n identiteitsmatrix zijn.

Als elke variabele in w niet alleen onafhankelijk is, maar ook normaal verdeeld is met nulgemiddelde en dezelfde variantie σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

, wordt w een Gaussische witte-ruisvector genoemd. In dat geval is de gezamenlijke verdeling van w een multivariate normale verdeling; de onafhankelijkheid tussen de variabelen impliceert dan dat de verdeling sferische symmetrie heeft in de n-dimensionale ruimte. Daarom zal elke orthogonale transformatie van de vector resulteren in een Gaussische witte willekeurige vector. In het bijzonder zal bij de meeste discrete Fouriertransformaties, zoals FFT en Hartley, de transformatie W van w ook een Gaussische witte ruisvector zijn; dat wil zeggen dat de n Fouriercoëfficiënten van w onafhankelijke Gaussische variabelen zijn met nulgemiddelde en dezelfde variantie σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

Het vermogensspectrum P van een willekeurige vector w kan worden gedefinieerd als de verwachte waarde van de gekwadrateerde modulus van elke coëfficiënt van zijn Fouriertransformatie W, dat wil zeggen Pi = E(|Wi|2). Volgens deze definitie heeft een Gaussische witte-ruisvector een volkomen vlak vermogensspectrum, met Pi = σ2 voor alle i.

Als w een witte willekeurige vector is, maar geen Gaussische, zullen zijn Fourier coëfficiënten Wi niet volledig onafhankelijk van elkaar zijn; hoewel voor grote n en gangbare waarschijnlijkheidsverdelingen de afhankelijkheden zeer subtiel zijn, en hun paarsgewijze correlaties kunnen worden verondersteld nul te zijn.

Vaak wordt in de definitie van witte ruis de zwakkere voorwaarde “statistisch ongecorreleerd” gebruikt, in plaats van “statistisch onafhankelijk”. Het is echter mogelijk dat sommige van de algemeen verwachte eigenschappen van witte ruis (zoals een vlak vermogensspectrum) niet opgaan voor deze zwakkere versie. Onder deze aanname kan de zwakkere versie expliciet worden aangeduid als onafhankelijke witte ruisvector.:p.60 Andere auteurs gebruiken in plaats daarvan sterk wit en zwak wit.

Een voorbeeld van een willekeurige vector die “Gaussische witte ruis” is in de zwakke maar niet in de sterke zin is x= waarbij x1 een normale willekeurige variabele is met nulgemiddelde, en x2 gelijk is aan +x1 of aan -x1, met gelijke waarschijnlijkheid. Deze twee variabelen zijn niet gecorreleerd en afzonderlijk normaal verdeeld, maar zij zijn niet gezamenlijk normaal verdeeld en zijn niet onafhankelijk. Als x 45 graden wordt gedraaid, zijn de twee componenten nog steeds niet gecorreleerd, maar hun verdeling is niet meer normaal.

In sommige situaties kan men de definitie versoepelen door toe te staan dat elke component van een witte willekeurige vector w een niet-nul verwachtingswaarde μ {displaystyle \mu } heeft.

. Vooral in de beeldverwerking, waar de steekproeven typisch beperkt zijn tot positieve waarden, neemt men vaak μ {\displaystyle \mu }

als de helft van de maximale waarde van het monster. In dat geval heeft de Fourier-coëfficiënt W0 die overeenkomt met de nul-frequentiecomponent (in wezen het gemiddelde van de wi) ook een niet-nul verwachtingswaarde μ n {\displaystyle \mu {\sqrt {n}}

; en het vermogensspectrum P is alleen vlak over de frequenties die niet nul zijn.

Discrete-tijd witte ruisEdit

Een discrete-tijd stochastisch proces W {{\displaystyle W}}

is een veralgemening van willekeurige vectoren met een eindig aantal componenten tot oneindig veel componenten. Een discreet stochastisch proces W {Displaystyle W}

wordt witte ruis genoemd als het gemiddelde niet van de tijd n afhangt {\displaystyle n}

en gelijk is aan nul, d.w.z. E ] = 0 {\displaystyle \operatornaam {E} ]=0}

en als de autocorrelatiefunctie R W = E W ] {\displaystyle R_{W}=operatornaam {E} W]}

alleen afhangt van n {{\displaystyle n}

maar niet van k {\displaystyle k}

en heeft alleen een waarde niet nul voor n = 0 {\displaystyle n=0}

, d.w.z. R W = σ 2 δ {\displaystyle R_{W}=\sigma ^{2}\delta }

Continu-tijd witte ruisEdit

Om het begrip “witte ruis” in de theorie van continu-tijd signalen te definiëren, moet men het begrip “willekeurige vector” vervangen door een continu-tijd willekeurig signaal; dat wil zeggen, een willekeurig proces dat een functie w genereert {Displaystyle w}

van een reële parameter t {\displaystyle t}

Van een dergelijk proces wordt gezegd dat het in de sterkste zin witte ruis is als de waarde w ( t ) {\displaystyle w(t)}

voor elk tijdstip t {\displaystyle t}

een willekeurige variabele is die statistisch onafhankelijk is van zijn gehele geschiedenis vóór t {\displaystyle t}

. Een zwakkere definitie vereist alleen onafhankelijkheid tussen de waarden w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

en w ( t 2 ) {Displaystyle w(t_{2})}

op elk paar verschillende tijdstippen t 1 {{1}}

en t 2 {\displaystyle t_{2}}

. Een nog zwakkere definitie vereist alleen dat dergelijke paren w ( t 1 ) {{displaystyle w(t_{1})}

en w ( t 2 ) {{2}}

niet gecorreleerd zijn. Net als in het discrete geval hanteren sommige auteurs de zwakkere definitie voor “witte ruis”, en gebruiken ze de kwalificatie onafhankelijk om te verwijzen naar een van de sterkere definities. Anderen gebruiken zwak wit en sterk wit om er onderscheid tussen te maken.

Een nauwkeurige definitie van deze begrippen is echter niet triviaal, omdat sommige grootheden die in het eindige discrete geval eindige sommen zijn, moeten worden vervangen door integralen die misschien niet convergeren. Inderdaad, de verzameling van alle mogelijke gevallen van een signaal w {\displaystyle w}

is niet langer een eindig-dimensionale ruimte R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

, maar een oneindig-dimensionale functieruimte. Bovendien is een wit ruissignaal w {\displaystyle w}

op elk punt in wezen discontinu zijn; daarom zijn zelfs de eenvoudigste bewerkingen op w {\displaystyle w}

, zoals integratie over een eindig interval, geavanceerde wiskundige machines vereisen.

Sommige auteurs eisen dat elke waarde w ( t ) {\displaystyle w(t)}

een reële random variabele is met verwachting μ {\displaystyle \mu }

en een eindige variantie σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

. Dan is de covariantie E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

tussen de waarden op twee tijdstippen t 1 {\displaystyle t_{1}}

en t 2 {\displaystyle t_{2}}

is goed gedefinieerd: het is nul als de tijdstippen verschillend zijn, en σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

als ze gelijk zijn. Volgens deze definitie is de integraal W = ∫ a a + r w ( t ) d t {Displaystyle W_{}=int _{a}^{a+r}w(t)^,dt}

over elk interval met positieve breedte r {\displaystyle r}

zou eenvoudigweg de breedte maal de verwachting zijn: r μ {\displaystyle r}

. Deze eigenschap zou het concept inadequaat maken als model voor fysische “witte ruis”-signalen.

Daarom definiëren de meeste auteurs het signaal w {\displaystyle w}

indirect door het specificeren van niet-nul waarden voor de integralen van w ( t ) {\displaystyle w(t)}

en | w ( t ) | 2 {\displaystyle |w(t)|^{2}}

over een willekeurig interval {\displaystyle }

, als functie van de breedte r {\displaystyle r}

. In deze benadering wordt echter de waarde van w ( t ) {\displaystyle w(t)}

op een geïsoleerd tijdstip niet worden gedefinieerd als een reële random variabele. Ook de covariantie E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

wordt oneindig wanneer t 1 = t 2 {{displaystyle t_{1}=t_{2}}