Wat is het grootste getal ter wereld?

Als je ooit tijdens een wiskundeles hebt gevraagd wat het grootste getal is, is de kans groot dat een slimme jongen een antwoord heeft gegeven in de trant van: “Dat is gemakkelijk! Het is oneindig natuurlijk!”

Het enige probleem met oneindig is dat het geen getal als zodanig is, zoals blijkt uit het onderstaande gesprek tussen twee heldere vonken.

Briljante vonk één: “Oneindig is het grootste getal in de wereld, dat is makkelijk!”

Briljante vonk twee: “Nou ik heb een groter getal voor je – oneindig plus één!”

Briljante vonk één weer: “Ik heb een getal dat het jouwe overtreft – oneindig plus één, keer een miljoen!”

De conversatie gaat zo door voor wat wel een oneindige hoeveelheid tijd lijkt, totdat geen van beide bright sparks het grootste getal ter wereld heeft bereikt.

Voordat de twee bright sparks zich realiseren dat oneindig eigenlijk helemaal geen getal is, het is meer een concept. Wat niemand de twee bright sparks nog heeft verteld is over het schokkende idee dat er verschillende groottes van oneindigheid zijn! Dus hoe berekenen we het grootste getal?

De oneindigheid van de telgetallen

De eenvoudigste manier om een verzameling getallen te maken die oneindig groot is, is door op te tellen in gehele getallen. Deze verzameling getallen wordt de natuurlijke getallen genoemd en is uiteraard oneindig groot, want we kunnen eindeloos blijven tellen. Het symbool wordt gebruikt om deze verzameling te labelen en staat voor ‘natuurlijke getallen’.

Laten we nu eens kijken naar een andere lijst van getallen en deze verzameling noemen (ons eigen label):

De verzameling is ook oneindig groot, maar lijkt één getal minder te bevatten dan . Zijn ze even groot?

We kunnen aantonen dat en inderdaad even groot zijn door aan te tonen dat de elementen van en de elementen van één op één met elkaar overeenkomen.

…

Tot nu toe zouden we hebben gezegd dat de grootte van eenvoudigweg oneindig was, wat als een getal acht op zijn kant wordt geschreven:.

We staan echter op het punt uit te vinden dat er verschillende grootten van oneindigheid zijn, en daarom bestempelen we de grootte van nu als , dat wordt uitgesproken als ‘aleph zero’. is de kleinste grootte van oneindig, en onze verzameling heeft ook grootte .

Andere verzamelingen die de grootte

Er zijn vele andere verzamelingen getallen die de oneindige grootte van hebben. Daartoe behoort de verzameling van even positieve gehele getallen, en ook wat bekend staat als de verzameling van rationale getallen. Rationale getallen zijn alle getallen die als breuken kunnen worden geschreven. Als een verzameling getallen de grootte heeft, zegt men dat ze telbaar is.

We kunnen elke mogelijke breuk noteren in een tabel zoals de onderstaande. Gelijkwaardige breuken kunnen meer dan eens voorkomen, bijvoorbeeld , maar we kunnen gemakkelijk alle herhalingen uit de tabel verwijderen. We kunnen dan een diagonaal patroon tekenen waarmee we onze breuken in een lijst kunnen zetten. We hebben nu een keurige lijst van breuken …

Als we een lijst van breuken hebben, kunnen ze geteld worden en de rationale getallen worden daarom telbaar genoemd.

Hoe vinden we een grootte van oneindigheid die groter is dan?

Niet elk getal kan als breuk geschreven worden. Getallen die niet als breuk geschreven kunnen worden, worden irrationale getallen genoemd. Bekende voorbeelden hiervan zijn en schijven als en .

De decimale uitbreidingen van irrationale getallen als (3,1415926535…) gaan eindeloos door, en deze getallen kunnen nooit als breuken worden geschreven, ook al gebruiken mensen graag als benadering voor .

Laten we nu eens kijken naar de verzameling van alle getallen die liggen tussen 0 en 1. Deze verzameling omvat zowel rationale getallen zoals als irrationale getallen zoals Deze verzameling getallen is duidelijk oneindig groot, want we kunnen steeds meer getallen bedenken die in het interval (0,1) liggen.

In 1873 vond een Duitse wiskundige genaamd Georg Cantor een zeer slim bewijs uit dat de verzameling van alle reële getallen in het interval (0,1) een grootte heeft die een grotere oneindigheid is dan de grootte van de verzameling van de natuurlijke getallen .

Samenvatting van Cantor’s beroemde diagonale argument.

Laten we aannemen dat de grootte van de verzameling van alle reële getallen in het interval (0,1) even groot is als . We kunnen dan een lijst maken waarin we proberen op te tellen door de reële getallen tussen 0 en 1. Het zou er ongeveer zo uit kunnen zien als we niet erg logisch zijn:

Cantors echt slimme volgende stap was om een nieuw getal te construeren dat niet op de lijst staat. Cantors argument werkt ofwel als we een lijst gebruiken zoals hierboven, of zelfs als we met veel moeite een logische lijst proberen te maken die elk getal tussen 0 en 1 probeert te vatten:

Cantors slimme manier om een getal te kiezen dat niet op de lijst staat.

Dit nieuwe getal staat duidelijk niet op de lijst en Cantor had een tegenspraak gevonden – Cantor toonde aan dat je nooit een één-op-één correspondentie kunt maken tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen in het interval (0,1). Cantor had bewezen dat de grootte van de reële getallen groter is dan de grootte van de natuurlijke getallen! De reële getallen zijn niet telbaar! Er zijn verschillende maten van oneindigheid!

Concluderend, het antwoord op de vraag wat het grootste getal ter wereld is, is niet eenduidig. Kort gezegd: er is geen grootste getal, je kunt eindeloos blijven tellen. Maar je kunt ook twee groepen getallen vinden – beide oneindig groot, maar ook verschillend in grootte ten opzichte van elkaar. Het is echt ongelooflijk om over na te denken!

Grootste Getal: Verder lezen

Dit artikel is nog maar het begin van dit fascinerende en verbijsterende onderwerp. Als u verder wilt lezen, probeer dan ‘The Continuum Hypothesis’ in Plus Magazine. Als je wiskunde gaat studeren, krijg je de kans om de zogenaamde verzamelingenleer te bestuderen, waarin de onderwerpen die in dit artikel aan de orde komen, gedetailleerder worden behandeld.

Artikel door Hazel Lewis