Logaritmen van negatieve getallen zijn niet gedefinieerd in de reële getallen, net zoals vierkantswortels van negatieve getallen niet gedefinieerd zijn in de reële getallen. Als men verwacht dat je de log van een negatief getal vindt, is een antwoord van “onbepaald” in de meeste gevallen voldoende.
Het is mogelijk om er een te evalueren, maar het antwoord zal een complex getal zijn. (een getal van de vorm #a + bi#, waarbij #i = sqrt(-1)#)
Als je bekend bent met complexe getallen en je je op je gemak voelt om ermee te werken, lees dan verder.
Laten we eerst beginnen met een algemeen geval:
#log_b (-x) = ?#
We zullen de regel van de verandering van basis gebruiken en omrekenen naar natuurlijke logaritmen, om het later gemakkelijker te maken:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Merk op dat #ln(-x)# hetzelfde is als #ln(-1 * x)#. We kunnen gebruik maken van de optel-eigenschap van logaritmen, en dit deel scheiden in twee afzonderlijke logs:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Nu is het enige probleem uit te vinden wat #ln(-1)# is. Het lijkt in eerste instantie misschien een onmogelijk ding om te berekenen, maar er is een vrij beroemde vergelijking bekend als de Identiteit van Euler die ons kan helpen.
De Identiteit van Euler stelt:
#e^(ipi) = -1#
Dit resultaat komt van machtreeksuitbreidingen van sinus en cosinus. (Ik zal dat niet al te diepgaand uitleggen, maar als je geïnteresseerd bent, is er hier een mooie pagina die wat meer uitlegt)
Voor nu nemen we gewoon de natuurlijke log van beide zijden van Eulers Identiteit:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Vereenvoudigd:
#ipi = ln(-1)#
Dus, nu we weten wat #ln(-1)# is, kunnen we terug substitueren in onze vergelijking:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Nu heb je een formule voor het vinden van logs van negatieve getallen. Dus, als we iets willen evalueren als #log_2 10#, kunnen we gewoon een paar waarden invullen:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#approx 3.3219 + 4.5324i#