Symbolische logica
Michael Genesereth
Computer Science Department
Stanford University
Hoewel het mogelijk is Logica te onderwijzen met gebruik van alleen de Engelse taal, is dit problematisch. Natuurlijke taalzinnen kunnen complex zijn; ze kunnen dubbelzinnig zijn; en het niet begrijpen van de betekenis van een zin kan leiden tot fouten in het redeneren.
Zelfs zeer eenvoudige zinnen kunnen problematisch zijn. Hier zien we twee grammaticaal legale zinnen. Ze zijn op het laatste woord na in alles gelijk, maar hun structuur is geheel verschillend. In de eerste is het hoofdwerkwoord bloesems, terwijl in de tweede bloesems een zelfstandig naamwoord is en het hoofdwerkwoord zonk.
De kersenbloesems bloeien in de lente.
De kersenbloesems bloeien in de lente zonk.
Als een ander voorbeeld van grammaticale complexiteit, beschouw het volgende fragment uit de huurovereenkomst van de Universiteit van Michigan. De zin is in dit geval zo lang en de grammaticale structuur zo complex dat mensen de zin vaak meerdere malen moeten lezen om te begrijpen wat er precies staat.
De universiteit kan deze huurovereenkomst beëindigen wanneer de huurder, na aanvraag en ondertekening van deze huurovereenkomst voorafgaand aan de inschrijving, niet in aanmerking komt voor inschrijving of zich niet inschrijft bij de universiteit of de universiteit verlaat op enig moment voorafgaand aan het verstrijken van deze huurovereenkomst, of voor schending van enige bepalingen van deze huurovereenkomst, of voor schending van enig voorschrift van de universiteit met betrekking tot resident Halls, of om gezondheidsredenen, door de student 30 dagen voorafgaand aan de effectieve datum van beëindiging schriftelijk in kennis te stellen van deze beëindiging, tenzij leven, ledematen of eigendom in gevaar komen, de huurder zich inlaat met de verkoop of aankoop van gereguleerde stoffen in strijd met de federale, staats- of lokale wetgeving, of de huurder niet langer is ingeschreven als student, of de huurder zich inlaat met het gebruik of bezit van vuurwapens, explosieven, ontvlambare vloeistoffen, vuurwerk, of andere gevaarlijke wapens binnen het gebouw, of vals alarm geeft, in welke gevallen een opzegtermijn van maximaal 24 uur voldoende zou zijn.
Als voorbeeld van ambiguïteit, stel dat ik de zin There’s a girl in the room with a telescope zou schrijven. Zie figuur 6 voor twee mogelijke betekenissen van deze zin. Zeg ik dat er een meisje in een kamer met een telescoop is? Of zeg ik dat er een meisje in de kamer is en dat ze een telescoop vasthoudt?
Figuur 6 – Er zit een meisje in de kamer met een telescoop.
Dergelijke complexiteiten en dubbelzinnigheden kunnen soms humoristisch zijn als ze leiden tot interpretaties die de auteur niet heeft bedoeld. Zie de voorbeelden hieronder voor enkele beruchte krantenkoppen met meerdere interpretaties. Het gebruik van een formele taal elimineert dergelijke onbedoelde dubbelzinnigheden (en, in voor- en tegenspoed, vermijdt ook elke onbedoelde humor).
|
Crowds Rushing to see Pope Trample 6 to Death Journal Star, Peoria, 1980
|
||||
|
||||
|
||||
|
Fried Chicken Cooked in Microwave Wins Trip The Oregonian, Portland, 1981
|
Als illustratie van fouten die ontstaan bij het redeneren met zinnen in natuurlijke taal, beschouwen we de volgende voorbeelden. In het eerste gebruiken we de transitiviteit van de relatie beter om een conclusie af te leiden over de relatieve kwaliteit van champagne en frisdrank uit de relatieve kwaliteit van champagne en bier en de relatieve kwaliteit of bier en frisdrank. Tot zover alles goed.
Champagne is beter dan bier.
Bier is beter dan frisdrank.
Daaruit volgt dat champagne beter is dan frisdrank.
Nu gaan we na wat er gebeurt als we dezelfde regel van de transitiviteit toepassen in het geval dat hieronder wordt geïllustreerd. De vorm van het argument is hetzelfde als voorheen, maar de conclusie is iets minder geloofwaardig. Het probleem in dit geval is dat het gebruik van nothing hier syntactisch vergelijkbaar is met het gebruik van beer in het voorgaande voorbeeld, maar in het Engels betekent het iets heel anders.
Slechte seks is beter dan niets.
Niets is beter dan goede seks.
Daarom is slechte seks beter dan goede seks.
Symbolische Logica elimineert deze moeilijkheden door het gebruik van een formele taal voor het coderen van informatie. Gegeven de syntaxis en semantiek van deze formele taal, kunnen we een precieze definitie geven van het begrip logische conclusie. Bovendien kunnen we precieze redeneerregels opstellen die alle en alleen logische conclusies opleveren.
In dit opzicht is er een sterke analogie tussen de methoden van de Formele Logica en die van de algebra op de middelbare school. Om deze analogie te illustreren, beschouw het volgende algebraprobleem.
Xavier is drie keer zo oud als Yolanda. Xavier’s leeftijd en Yolanda’s leeftijd zijn opgeteld twaalf. Hoe oud zijn Xavier en Yolanda?
Typisch is de eerste stap bij het oplossen van zo’n probleem om de informatie in de vorm van vergelijkingen uit te drukken. Als we x laten staan voor de leeftijd van Xavier en y voor de leeftijd van Yolanda, dan kunnen we de essentiële informatie van het probleem vastleggen zoals hieronder is weergegeven.
x – 3y = 0
x + y = 12
Met behulp van algebra kunnen we deze uitdrukkingen vervolgens manipuleren om het probleem op te lossen. Eerst trekken we de tweede vergelijking van de eerste af.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
Daarna delen we elke zijde van de resulterende vergelijking door -4 om een waarde voor y te krijgen. Als we dat vervolgens weer in een van de voorgaande vergelijkingen substitueren, krijgen we een waarde voor x.
x = 9
y = 3
Nu kunnen we het volgende logische probleem bekijken.
Als Mary van Pat houdt, dan houdt Mary van Quincy. Als het maandag is en regent, dan houdt Mary van Pat of Quincy. Als het maandag is en regent, houdt Mary dan van Quincy?
Zoals bij het algebraprobleem is de eerste stap formalisering. Laat p staan voor de mogelijkheid dat Mary van Pat houdt; laat q staan voor de mogelijkheid dat Mary van Quincy houdt; laat m staan voor de mogelijkheid dat het maandag is; en r voor de mogelijkheid dat het regent.
Met deze afkortingen kunnen we de essentiële informatie van dit probleem weergeven met de volgende logische zinnen. De eerste zegt dat p impliceert q, d.w.z. als Mary van Pat houdt, dan houdt Mary van Quincy. De tweede zegt dat m en r impliceert p of q, d.w.z. als het maandag is en regent, dan houdt Mary van Pat of Mary van Quincy.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
Zoals bij Algebra, Formele Logica definieert bepaalde operaties die we kunnen gebruiken om uitdrukkingen te manipuleren. De hieronder getoonde bewerking is een variant van wat men Propositionele Resolutie noemt. De uitdrukkingen boven de regel zijn de premissen van de regel, en de uitdrukking eronder is de conclusie.
| p1 ∧ …. ∧ pk | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql |
| r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ … ∨ sn |
| p1 ∧ … ∧ pk ∧ r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql ∨ s1 ∨ … ∨ sn |
Er zijn twee uitwerkingen van deze bewerking. (1) Als een stelling aan de linkerkant van de ene zin dezelfde is als een stelling aan de rechterkant van de andere zin, dan mogen de twee symbolen weggelaten worden, met dien verstande dat slechts één zo’n paar mag weggelaten worden. (2) Als een constante herhaald wordt op dezelfde zijde van één zin, mogen alle voorkomens op één na geschrapt worden.
We kunnen deze bewerking gebruiken om het probleem van Mary’s liefdesleven op te lossen. Als we de twee bovenstaande premissen bekijken, zien we dat p voorkomt aan de linkerkant van de ene zin en aan de rechterkant van de andere. Bijgevolg kunnen we de p annuleren en zo de conclusie afleiden dat, als het maandag is en regent, Mary van Quincy houdt of Mary van Quincy houdt.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
Door het herhaalde symbool aan de rechterkant te laten vallen, komen we tot de conclusie dat, als het maandag is en regent, Mary van Quincy houdt.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Dit voorbeeld is interessant in die zin dat het onze formele taal voor het coderen van logische informatie laat zien. Net als in de algebra gebruiken we symbolen om relevante aspecten van de wereld in kwestie weer te geven, en we gebruiken operatoren om deze symbolen met elkaar te verbinden en zo informatie uit te drukken over de dingen die die symbolen weergeven.
Het voorbeeld introduceert ook een van de belangrijkste operaties in de Formele Logica, namelijk Resolutie (in dit geval een beperkte vorm van Resolutie). Resolutie heeft de eigenschap volledig te zijn voor een belangrijke klasse van logische problemen, d.w.z. dat het de enige operatie is die nodig is om elk probleem in die klasse op te lossen.