Oneindigheid

Wiskundige oneindigheden

De oude Grieken drukten oneindigheid uit met het woord apeiron, dat de connotatie had van onbegrensd, onbepaald, ongedefinieerd, en vormloos zijn. Een van de vroegste verschijningen van oneindigheid in de wiskunde betreft de verhouding tussen de diagonaal en de zijde van een vierkant. Pythagoras (ca. 580-500 v. Chr.) en zijn volgelingen geloofden aanvankelijk dat elk aspect van de wereld kon worden uitgedrukt door een rangschikking met alleen de gehele getallen (0, 1, 2, 3,…), maar zij waren verbaasd toen zij ontdekten dat de diagonaal en de zijde van een vierkant incommensurabel zijn – d.w.z. dat hun lengten niet allebei kunnen worden uitgedrukt als veelvouden van gehele getallen van een gemeenschappelijke eenheid (of meetlat). In de moderne wiskunde wordt deze ontdekking uitgedrukt door te zeggen dat de verhouding irrationeel is en dat het de limiet is van een eindeloze, niet-herhalende decimale reeks. In het geval van een vierkant met zijden van lengte 1 is de diagonaal de vierkantswortel van√2, geschreven als 1,414213562…, waarbij de ellips (…) een eindeloze reeks cijfers zonder patroon aangeeft.

Zowel Plato (428/427-348/347 v. Chr.) als Aristoteles (384-322 v. Chr.) deelden de algemene Griekse afkeer van het begrip oneindigheid. Aristoteles beïnvloedde het latere denken gedurende meer dan een millennium met zijn verwerping van de “feitelijke” oneindigheid (ruimtelijk, temporeel of numeriek), die hij onderscheidde van de “potentiële” oneindigheid van het eindeloos kunnen tellen. Om het gebruik van de werkelijke oneindigheid te vermijden, ontwikkelden Eudoxus van Cnidus (ca. 400-350 v. Chr.) en Archimedes (ca. 285-212/211 v. Chr.) een techniek, later bekend als de methode van uitputting, waarbij een oppervlakte werd berekend door de meeteenheid in opeenvolgende stadia te halveren totdat de resterende oppervlakte onder een bepaalde vaste waarde lag (het resterende gebied was “uitgeput”).

De kwestie van oneindig kleine getallen leidde tot de ontdekking van de calculus aan het eind van de jaren 1600 door de Engelse wiskundige Isaac Newton en de Duitse wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton introduceerde zijn eigen theorie van oneindig kleine getallen, of infinitesimalen, om de berekening van afgeleiden, of hellingen, te rechtvaardigen. Om de helling (d.w.z. de verandering in y over de verandering in x) te vinden voor een lijn die een kromme raakt in een gegeven punt (x, y), vond hij het nuttig om te kijken naar de verhouding tussen dy en dx, waarbij dy een oneindig kleine verandering in y is door een oneindig kleine hoeveelheid dx van x af te bewegen. Oneindig kleine getallen werden zwaar bekritiseerd, en een groot deel van de vroege geschiedenis van de analyse draaide om pogingen om een alternatieve, rigoureuze basis voor het onderwerp te vinden. Het gebruik van infinitesimale getallen kreeg uiteindelijk vaste voet aan de grond met de ontwikkeling van niet-standaard analyse door de in Duitsland geboren wiskundige Abraham Robinson in de jaren 1960.

Een meer direct gebruik van oneindigheid in de wiskunde ontstaat bij pogingen om de grootte van oneindige verzamelingen te vergelijken, zoals de verzameling van punten op een lijn (reële getallen) of de verzameling van telgetallen. Wiskundigen worden snel getroffen door het feit dat gewone intuïties over getallen misleidend zijn wanneer het over oneindige grootten gaat. Middeleeuwse denkers waren zich bewust van het paradoxale feit dat lijnstukken van verschillende lengte hetzelfde aantal punten leken te hebben. Teken bijvoorbeeld twee concentrische cirkels, de ene twee keer de straal (en dus twee keer de omtrek) van de andere, zoals in de figuur. Verrassend genoeg kan elk punt P op de buitenste cirkel worden gekoppeld aan een uniek punt P′ op de binnenste cirkel door een lijn van hun gemeenschappelijke middelpunt O naar P te trekken en het snijpunt met de binnenste cirkel P′ te labelen. Intuïtie suggereert dat de buitencirkel twee keer zoveel punten zou moeten hebben als de binnencirkel, maar in dit geval lijkt oneindig hetzelfde te zijn als twee keer oneindig. In het begin van de jaren 1600 pakte de Italiaanse wetenschapper Galileo Galilei dit en een soortgelijk onintuïtief resultaat aan, dat nu bekend staat als Galileo’s paradox. Galileo toonde aan dat de verzameling van telgetallen één-op-één kon worden gebracht met de ogenschijnlijk veel kleinere verzameling van hun kwadraten. Hij toonde eveneens aan dat de verzameling van de telgetallen en hun dubbelen (d.w.z. de verzameling van de even getallen) aan elkaar konden worden gekoppeld. Galilei concludeerde dat “we niet kunnen spreken van oneindige hoeveelheden als zijnde de ene groter of kleiner dan of gelijk aan de andere.” Dergelijke voorbeelden brachten de Duitse wiskundige Richard Dedekind er in 1872 toe een definitie van een oneindige verzameling voor te stellen als een verzameling die in een één-op-één-relatie kan worden gebracht met een of andere eigen deelverzameling.

De verwarring over oneindige getallen werd opgelost door de Duitse wiskundige Georg Cantor vanaf 1873. Eerst toonde Cantor rigoureus aan dat de verzameling van rationale getallen (breuken) even groot is als de telgetallen; vandaar dat ze telbaar, of denumerabel worden genoemd. Dit kwam natuurlijk niet als een echte schok, maar later datzelfde jaar bewees Cantor het verrassende resultaat dat niet alle oneindigheden gelijk zijn. Met behulp van een zogenaamd “diagonaal argument” toonde Cantor aan dat de grootte van de telbare getallen strikt kleiner is dan de grootte van de reële getallen. Dit resultaat staat bekend als de stelling van Cantor.

Om verzamelingen te vergelijken, maakte Cantor eerst onderscheid tussen een specifieke verzameling en het abstracte begrip van de grootte, of kardinaliteit. In tegenstelling tot een eindige verzameling, kan een oneindige verzameling dezelfde kardinaliteit hebben als een eigen deelverzameling van zichzelf. Cantor gebruikte een diagonaal argument om aan te tonen dat de kardinaliteit van een willekeurige verzameling kleiner moet zijn dan de kardinaliteit van zijn machtverzameling – d.w.z. de verzameling die alle mogelijke deelverzamelingen van de gegeven verzameling bevat. In het algemeen heeft een verzameling met n elementen een machtsverzameling met 2n elementen, en deze twee kardinaliteiten zijn verschillend, zelfs als n oneindig is. Cantor noemde de groottes van zijn oneindige verzamelingen “transfiniete kardinalen”. Zijn argumenten toonden aan dat er oneindig veel verschillende transfiniete kardinalen zijn (zoals de kardinalen van de verzameling telgetallen en de verzameling reële getallen).

De transfiniete kardinalen omvatten aleph-null (de grootte van de verzameling gehele getallen), aleph-one (de eerstvolgende grotere oneindigheid), en het continuüm (de grootte van reële getallen). Deze drie getallen worden ook geschreven als ℵ0, ℵ1, en c, respectievelijk. Per definitie is ℵ0 kleiner dan ℵ1, en volgens de stelling van Cantor is ℵ1 kleiner dan of gelijk aan c. Samen met een principe dat bekend staat als het axioma van keuze, kan de bewijsmethode van de stelling van Cantor gebruikt worden om een eindeloze rij van oneindige kardinalen te verkrijgen die verder gaan dan ℵ1 tot getallen als ℵ2 en ℵℵ0.

Het continuumprobleem is de vraag welke van de alephs gelijk is aan de continuumkaartinaliteit. Cantor vermoedde dat c = ℵ1; dit staat bekend als de continuümhypothese van Cantor (CH). De CH kan ook zo worden opgevat dat elke verzameling van punten op de lijn ofwel telbaar moet zijn (met een grootte kleiner dan of gelijk aan ℵ0) ofwel een grootte moet hebben zo groot als de hele ruimte (grootte c).

In het begin van de 20e eeuw werd een grondige theorie van oneindige verzamelingen ontwikkeld. Deze theorie staat bekend als ZFC, wat staat voor Zermelo-Fraenkel set theory met het axioma van keuze. Het is bekend dat CH onbeslisbaar is op basis van de axioma’s in ZFC. In 1940 kon de in Oostenrijk geboren logicus Kurt Gödel aantonen dat ZFC CH niet kan weerleggen, en in 1963 toonde de Amerikaanse wiskundige Paul Cohen aan dat ZFC CH niet kan bewijzen. Set-theoretici blijven zoeken naar manieren om de ZFC axioma’s op een redelijke manier uit te breiden om CH op te lossen. Recent werk suggereert dat CH vals zou kunnen zijn en dat de ware grootte van c de grotere oneindigheid ℵ2.