Er zijn twee afzonderlijke artikelen in dit archief: “Hoe weten we van de Griekse wiskunde?” en “Hoe weten we van de Griekse wiskundigen?”. Er wordt vaak gedacht dat de vraag die in dit artikel wordt gesteld, over Griekse wiskunde in plaats van Griekse wiskundigen, gemakkelijk te beantwoorden is. Misschien hoeven we alleen maar de wiskundige verhandelingen te lezen die de Griekse wiskundigen hebben geschreven. We zouden heel naïef kunnen denken dat, hoewel sommige van de oorspronkelijke teksten verloren zijn gegaan, er toch nog genoeg over zou moeten zijn om ons een uitstekend beeld te kunnen vormen van de Griekse wiskunde.
De waarheid is echter lang niet zo eenvoudig en we zullen de manier waarop Griekse wiskundige teksten tot ons zijn gekomen illustreren door eerst te kijken naar misschien wel het beroemdste voorbeeld, namelijk Euclides’ Elementen. Wanneer wij Heaths The Thirteen Books of Euclid’s Elements lezen, lezen wij dan een Engelse vertaling van de woorden die Euclides in 300 v.C. schreef? Om deze vraag te beantwoorden moeten we onderzoeken hoe de Elementen ons bereikt hebben, en meer in het algemeen hoe de geschriften van de oude Griekse wiskundigen bewaard zijn gebleven.
Verrassend genoeg zijn er uit het vroegere tijdperk van de Babylonische wiskunde originele teksten bewaard gebleven. De Babyloniërs schreven op tabletten van ongebakken klei, met behulp van spijkerschrift. De symbolen werden met de schuine kant van een stylus in zachte kleitabletten gedrukt en zagen er dus wigvormig uit (en vandaar de naam spijkerschrift). Veel tabletten van rond 1700 v. Chr. zijn bewaard gebleven en wij kunnen de oorspronkelijke teksten lezen. De Grieken begonnen echter papyrusrollen te gebruiken om hun werken op te schrijven.
Papyrus is afkomstig van een grasachtige plant die in het gebied van de Nijldelta in Egypte wordt geteeld en die reeds 3000 v. Chr. als schrijfmateriaal werd gebruikt. Het werd echter pas rond 450 v.C. door de Grieken gebruikt, want voordien hadden zij slechts een mondelinge traditie van kennisoverdracht via hun leerlingen. Naarmate het schrift zich ontwikkelde, gebruikten zij ook houten schrijfborden en wastabletten voor werk dat niet bedoeld was om permanent te zijn. Soms is het schrift uit deze periode bewaard gebleven op ostraca, fragmenten aardewerk met inscripties. Men neemt aan dat het eerste exemplaar van de Elementen op een papyrusrol is geschreven, die, als hij typerend was voor dergelijke rollen, ongeveer 10 meter lang zou zijn geweest. Deze rollen waren nogal kwetsbaar en scheurden gemakkelijk, zodat ze bij veelvuldig gebruik de neiging vertoonden beschadigd te raken. Zelfs onaangeroerd rotten zij vrij snel, behalve onder bijzonder droge klimatologische omstandigheden zoals die in Egypte voorkomen. De enige manier waarop dergelijke werken bewaard konden blijven was door vrij regelmatig nieuwe kopieën te laten maken, en aangezien dit duidelijk een grote onderneming was, werd dit alleen gedaan voor teksten die van groot belang werden geacht.
Het is dus gemakkelijk te begrijpen waarom er geen complete Griekse wiskundetekst ouder dan de Elementen van Euclides bewaard is gebleven. De Elementen werd beschouwd als zo’n goed stuk werk dat het de oudere wiskundige teksten overbodig maakte, en niemand was van plan om deze oudere teksten te blijven kopiëren op nieuwe rollen papyrus alleen maar om ze te bewaren voor historische doeleinden. De Elementen werden voortdurend gekopieerd, maar er zijn twee duidelijke problemen die zich voordoen wanneer werken als deze worden gekopieerd. Ten eerste kunnen ze zijn gekopieerd door iemand die geen technische kennis had van het materiaal dat werd gekopieerd. In dat geval zouden er veel fouten zijn gemaakt bij het kopiëren (hoewel dit, zoals we hieronder zullen zien, door historici in hun voordeel kan worden gebruikt). Anderzijds kan de kopie zijn gemaakt door iemand met veel kennis van zaken die op de hoogte was van latere ontwikkelingen op het gebied van de beschreven onderwerpen en zo materiaal heeft toegevoegd dat niet in de oorspronkelijke tekst stond.
Van 300 v. Chr. tot de ontwikkeling van de codexvorm van het boek, moeten de Elementen vele malen zijn gekopieerd. De codex bestond uit vlakke vellen materiaal, gevouwen en genaaid tot iets dat veel herkenbaarder was als een boek. Vroege codices werden gemaakt van papyrus, maar later werd dit vervangen door perkament. Codices begonnen te verschijnen rond de 2e eeuw n.Chr. maar zij werden pas in de 4e eeuw het belangrijkste medium voor werken.
Er waren niet alleen ontwikkelingen in het materiaal waarop de werken werden geschreven, maar ook in het schrift dat bij het schrijven werd gebruikt. Op de oorspronkelijke papyrusrollen werd alles in hoofdletters geschreven, zonder spaties tussen de woorden. Het vergde veel materiaal om relatief weinig te schrijven en het was ook moeilijk te lezen. Het minuskelschrift, dat zich rond 800 AD ontwikkelde, bestond uit kleine letters en was veel compacter en gemakkelijker te lezen. Er begon een proces van omzetting van het oude ongespatieerde hoofdschrift in minuskelschrift en veel van de wiskundige geschriften die bewaard zijn gebleven, hebben dat gedaan omdat zij in dit nieuwe formaat werden gekopieerd.
We zijn nu bij het oudste bewaard gebleven complete afschrift van de Elementen, geschreven in minuskelschrift in 888 n.Chr. Arethas, bisschop van Caesarea Cappadociae (nu in Midden-Turkije), bouwde een bibliotheek op met religieuze en wiskundige werken en een van de acht werken uit deze bibliotheek die bewaard zijn gebleven is de Elementen, gekopieerd door de scribent Stephanus voor Arethas. De kosten voor Arethas bedroegen 14 goudstukken, ongeveer een vijfde van wat een schriftgeleerde in een jaar zou ontvangen. Laten we dit manuscript van Euclides’ Elementen E888 noemen om er gemakkelijker naar te kunnen verwijzen. Er zijn een aantal punten die we nu moeten maken:
ii) Hoewel E888 de oudste overgeleverde volledige tekst van de Elementen is, zijn er oudere fragmenten (zie bijvoorbeeld en ). Zes bijzonder oude fragmenten (daterend van ongeveer 225 v. Chr.) van wat delen van de tekst zouden kunnen zijn, werden in 1906 op het Elephantine-eiland gevonden. Deskundigen betwisten of deze zijn geschreven door iemand die de Elementen bestudeerde of een boek bestudeerde dat Euclides in de Elementen had verwerkt.
iii) Sommige overgeleverde teksten die later dan E888 zijn geschreven, zijn niettemin gebaseerd op een vroegere versie van de Elementen dan E888.
iv) Het handschrift E888 bevat, zoals kenmerkend is voor dergelijke manuscripten, aantekeningen die zijn gemaakt op het eerdere exemplaar dat de scribent Stephanus gebruikte en dat door hem op E888 is gekopieerd. Het bevat ook aantekeningen van latere lezers.
v) De meeste manuscripten van de Elementen die bewaard zijn gebleven, zijn gebaseerd op een versie met commentaar en toevoegingen, gemaakt door Theon van Alexandrië (met misschien de hulp van zijn dochter Hypatia) in de 4e eeuw n.Chr. E888 is inderdaad gebaseerd op het werk van Theon.
vi) De eerste versies van de Elementen die in de Middeleeuwen in Europa verschenen, waren geen vertalingen van een van deze Griekse teksten in het Latijn. In die tijd waren er geen Griekse teksten van de Elementen bekend en de enige versies van de Elementen waren die welke in het Arabisch waren vertaald.
vii) Het is de moeite waard op te merken dat de reden die vaak wordt gegeven dat er geen eerdere kopieën van teksten bewaard zijn gebleven, is dat de Arabieren in 642 AD de bibliotheek in Alexandrië in brand hebben gestoken. Het blijkt echter dat er geen waarheid zit in het verhaal dat de Arabieren deze bibliotheek hebben verbrand, zie bijvoorbeeld.
In feite werd de eerste Arabische vertaling gemaakt door al-Hajjaj vroeg in de 9e eeuw. Een andere vertaling door Hunayn werd herzien door Thabit ibn Qurra ook in de 9e eeuw. Gherard van Cremona vertaalde de Thabit versie in het Latijn in de 12e eeuw. Een eerdere Latijnse vertaling uit het Arabisch door Adelard van Bath rond 1120 is bewaard gebleven. Deze vertalingen uit het Arabisch zijn allemaal versies die teruggaan op de editie van Theon van Alexandrië.
De relaties tussen de verschillende versies van een groot aantal Griekse wiskundige manuscripten is op briljante wijze uitgewerkt door de Deense geleerde J L Heiberg tegen het einde van de 19e eeuw. Het zou onmogelijk zijn recht te doen aan het wetenschappelijk werk dat met een dergelijke taak gemoeid was, maar wij geven ten minste aan op welke wijze dit is aangepakt. Als we twee manuscripten, AAA en BBB bijvoorbeeld, vergelijken en vaststellen dat de fouten die in AAA aanwezig zijn, ook in BBB aanwezig zijn, maar dat er in BBB enkele fouten staan die in AAA niet voorkomen, dan is het redelijk daaruit af te leiden dat BBB van AAA is gekopieerd of dat het van een kopie van AAA is gekopieerd. Als we vinden dat AAA en BBB gemeenschappelijke fouten hebben, maar ook elk hun eigen fouten hebben, dan is het waarschijnlijk dat zowel AAA als BBB zijn gekopieerd van CCC. Als er geen manuscript bewaard is gebleven dat past in de rol van CCC, dan kan CCC met enige mate van zekerheid gereconstrueerd worden uit AAA en BBB.
Met behulp van dit soort methoden toonde Heiberg aan dat alle overgeleverde manuscripten van de Elementen, op één na, afgeleid zijn van de editie door Theon van Alexandrië. De ene uitzondering was gebaseerd op een vroegere versie van de tekst dan Theon’s editie, maar deze vroegere versie was zelf later dan de versie waarop Theon zijn editie moet hebben gebaseerd. Tussen 1883 en 1888 publiceerde Heiberg een editie van de Elementen die zo dicht mogelijk bij het origineel lag als hij kon produceren (zie ). Heath’s editie van 1908 ( is een latere uitgave van dit werk) was gebaseerd op Heiberg’s editie en bevat een beschrijving van de verschillende manuscripten die bewaard zijn gebleven.
We hebben hier slechts een korte indicatie gegeven van de manier waarop de Elementen tot ons zijn gekomen. Wij verwijzen naar en voor een gedetailleerde beschrijving. Laten we ons nu richten op de werken van misschien wel de grootste van de Griekse wiskundigen, namelijk Archimedes.
William van Moerbeke (1215-1286) was aartsbisschop van Korinthe en een classicus wiens Latijnse vertalingen van Griekse werken een belangrijke rol speelden in de overdracht van Griekse kennis naar middeleeuws Europa. Hij bezat twee Griekse manuscripten van de werken van Archimedes en hij maakte zijn Latijnse vertalingen uit deze manuscripten. Het eerste van de twee Griekse manuscripten is niet meer gezien sinds 1311, toen het vermoedelijk werd vernietigd. Het tweede manuscript overleefde langer en was er zeker tot de 16e eeuw, waarna het eveneens verdween. In de jaren tussen het moment waarop Willem van Moerbeke zijn Latijnse vertaling maakte en de verdwijning ervan werd dit tweede manuscript verschillende keren gekopieerd en enkele van deze kopieën zijn bewaard gebleven. Tot 1899 had Heiberg geen bronnen van Archimedes’ werken gevonden die niet gebaseerd waren op de Latijnse vertalingen van Willem van Moerbeke of op de kopieën van het tweede Griekse manuscript die hij in zijn vertaling gebruikte.
In 1899 deed zich een uitzonderlijk belangrijke gebeurtenis voor in ons begrip van de werken van Archimedes. Een Archimedes palimpsest werd opgenomen in een catalogus van 890 werken in de bibliotheek van het Metochion van het Heilig Graf in Istanbul. In 1906 kon Heiberg beginnen met het onderzoek van de Archimedes palimpsest in Istanbul. Wat was Heiberg precies aan het onderzoeken? Een palimpsest is een tekst die gewassen is, zodat er een andere tekst overheen geschreven kan worden. Van de onderliggende tekst, in dit geval werken van Archimedes, wordt gezegd dat hij “in palimpsest” is. De twee belangrijkste redenen om dit te doen waren ofwel de kosten, het was goedkoper een oud perkament te hergebruiken dan een nieuw perkament te kopen, ofwel vaak werden Griekse teksten opzettelijk vernietigd omdat het door sommige christenen als een heilige daad werd beschouwd een heidense tekst te vernietigen en te vervangen door een christelijke.
De Archimedes-palimpsest was in de 10e eeuw gekopieerd door een monnik in een Grieks-orthodox klooster in Constantinopel. In de 12e eeuw werd het perkament gewassen en werden er religieuze teksten op geschreven. Oorspronkelijk waren de bladzijden ongeveer 30 cm bij 20 cm, maar toen ze opnieuw werden gebruikt, werden de bladzijden dubbelgevouwen tot een boek van 20 cm bij 15 cm met 174 bladzijden. Uiteraard betekende dit dat de nieuwe teksten haaks op de Archimedes tekst moesten worden geschreven en, aangezien het als een boek was gebonden, zat een deel van de Archimedes tekst in de rug van het “nieuwe” 12e eeuwse boek. Om de taak van Heiberg nog moeilijker te maken, waren de bladzijden van de Archimedes tekst in een willekeurige volgorde gebruikt bij het maken van het nieuwe boek. Heiberg had echter alle vaardigheden die nodig waren om met deze problemen om te gaan.
Wat heeft Heiberg gevonden? De palimpsest bevatte vier werken van Archimedes die reeds bekend waren, maar de versies op de palimpsest stonden los van de twee verloren manuscripten die Willem van Moerbeke gebruikte in zijn Latijnse vertalingen. Dit was een opwindende vondst voor wetenschappers die meer inzicht willen krijgen in de oorspronkelijke inhoud van Archimedes’ werk. Beter nog, de palimpsest bevatte ook een tekst van Over drijvende lichamen die tot dan toe alleen bekend was via Latijnse vertalingen. Het beste van alles was echter het feit dat op de palimpsest een werk van Archimedes werd gevonden waarvan vóór Heibergs studie van de palimpsest geen enkel exemplaar in welke taal dan ook bekend was. Het was de uiterst belangrijke Methode van mechanische stellingen die we beschrijven in Archimedes’ biografie.
Heiberg publiceerde zijn reconstructie van de werken van Archimedes die in de palimpsest waren gevonden terwijl de palimpsest zelf in het klooster in Istanbul bleef. Maar voordat de publicatie van Heiberg’s nieuwe editie van Archimedes’ werken met deze opmerkelijke nieuwe ontdekkingen was voltooid, werd de regio samen met de rest van Europa in oorlog gedompeld. Tijdens de Eerste Wereldoorlog waren de geallieerden van plan het Ottomaanse rijk op te delen, maar Mustafa Kemal, later bekend als Atatürk, had andere ideeën. Atatürk kreeg te maken met lokale opstanden, officiële Ottomaanse strijdkrachten die tegen hem waren, en Griekse strijdkrachten. Turkije werd echter in januari 1921 tot een soevereine natie uitgeroepen, maar later dat jaar rukten de Griekse legers op tot bijna in Ankara. Het voortbestaan van de bibliotheek van de Metochion van het Heilig Graf in Istanbul kon tijdens de gevechten niet worden gegarandeerd en het hoofd van de Grieks-orthodoxe kerk verzocht om de boeken van de bibliotheek naar de Nationale Bibliotheek van Griekenland te sturen om hun veiligheid te waarborgen. Van de 890 werken in de bibliotheek bereikten slechts 823 de Nationale Bibliotheek van Griekenland en de Archimedes palimpsest zat daar niet bij.
Wat er precies met de Archimedes palimpsest is gebeurd is onduidelijk. Het was, naar het schijnt, in handen van een onbekende Franse verzamelaar uit de jaren 1920, hoewel de palimpsest officieel verloren bleef en de meeste mensen aannamen dat hij was vernietigd. De Franse verzamelaar kan het vrij recent hebben verkocht, maar het enige dat we zeker weten is dat de palimpsest in 1998 op een veiling in Christie’s in New York is verschenen, verkocht namens een anonieme verkoper. Het werd tentoongesteld met de rug opengebroken om alle originele tekst te onthullen die zich in de rug had bevonden toen het door Heiberg was onderzocht. Het werd op 29 oktober 1998 voor 2 miljoen dollar verkocht aan een anonieme koper, maar de nieuwe eigenaar heeft ermee ingestemd het beschikbaar te stellen voor wetenschappelijk onderzoek.
Klik op de bovenstaande afbeelding om een grotere versie te zien.
Naast wie de huidige eigenaar is, blijven er nog een aantal mysteries over de palimpsest bestaan:
Wie bezat de palimpsest in de jaren 1922 tot 1998?
Bij de tentoonstelling van de palimpsest door Christie’s in New York in 1998 werden er een aantal iconen op gezien, maar Heiberg had geen iconen op het werk vermeld. Waren de iconen door een van de eigenaars toegevoegd om de waarde ervan te verhogen?
De diagrammen in de versie van Over drijvende lichamen in de palimpsest verschillen van die in de vertaling door Willem van Moerbeke. Nog vreemder is dat ze verschillen van die in Heibergs versie van Over drijvende lichamen, waarin de tekst van de palimpsest is opgenomen. Waar komen de diagrammen zoals gemaakt door Heiberg vandaan als het niet de palimpsest is?