Machtswetten: How Nonlinear Relationships Amplify Results

Defining A Power Law

Neem een persoon in gedachten die voor het eerst begint met gewichtheffen.

Tijdens hun eerste sessies kunnen ze slechts een kleine hoeveelheid gewicht tillen. Maar naarmate ze meer tijd investeren, merken ze dat bij elke trainingssessie hun kracht verrassend toeneemt.

Voor een tijdje maken ze enorme verbeteringen. Uiteindelijk, echter, vertraagt hun vooruitgang. In het begin konden ze hun kracht met wel 10% per sessie vergroten; nu duurt het maanden om zelfs maar 1% te verbeteren. Misschien nemen ze hun toevlucht tot prestatiebevorderende middelen of gaan ze vaker trainen. Hun motivatie is verzwakt en ze raken geblesseerd, zonder dat de hoeveelheid gewicht die ze kunnen tillen echt verandert.

Nu, laten we ons eens voorstellen dat onze gefrustreerde gewichtheffer besluit om te gaan hardlopen. Er gebeurt iets soortgelijks. Hoewel de eerste paar loopjes ongelooflijk moeilijk zijn, neemt het uithoudingsvermogen van de persoon snel toe met het verstrijken van elke week, totdat het afvlakt en de afnemende meeropbrengst zich weer voordoet.

Beide van deze situaties zijn voorbeelden van machtswetten – een relatie tussen twee dingen waarin een verandering in het ene ding kan leiden tot een grote verandering in het andere, ongeacht de aanvankelijke hoeveelheden. In onze beide voorbeelden leidt een kleine tijdsinvestering aan het begin van de inspanning tot een grote toename van de prestaties.

Machtswetten zijn interessant omdat ze verrassende correlaties tussen ongelijksoortige factoren blootleggen. Als mentaal model zijn de machtswetten veelzijdig, met talrijke toepassingen in verschillende kennisgebieden.

Als delen van dit bericht intimiderend lijken voor niet-wiskundigen, heb geduld met ons. Het begrijpen van de wiskunde achter machtswetten is de moeite waard om hun vele toepassingen te begrijpen. Investeer wat tijd in het lezen van dit artikel en pluk de vruchten ervan – wat op zich al een voorbeeld is van een machtswet!

Een machtswet wordt vaak weergegeven door een vergelijking met een exponent:

Y=MX^B

Elke letter staat voor een getal. Y is een functie (het resultaat); X is de variabele (het ding dat je kunt veranderen); B is de volgorde van schaling (de exponent), en M is een constante (onveranderlijk).

Als M gelijk is aan 1, dan is de vergelijking Y=X^B. Als B=2, dan wordt de vergelijking Y=X^2 (Y=X in het kwadraat). Als X 1 is, is Y ook 1. Maar als X=2, dan is Y=4; als X=3, dan is Y=9, enzovoort. Een kleine verandering in de waarde van X leidt tot een evenredig grote verandering in de waarde van Y.

B=1 staat bekend als de lineaire schaalwet.

Om een cake-recept te verdubbelen, heb je twee keer zoveel bloem nodig. Om twee keer zo ver te rijden, doe je er twee keer zo lang over. (Tenzij je kinderen hebt, in welk geval je rekening moet houden met toiletpauzes die schijnbaar weinig met afstand te maken hebben). Lineaire verbanden, waarbij twee keer zo groot twee keer zo veel vereist, zijn eenvoudig en intuïtief.

Nonlineaire verbanden zijn gecompliceerder. In deze gevallen heb je niet tweemaal zoveel van de oorspronkelijke waarde nodig om tweemaal zoveel toename van een meetbare eigenschap te krijgen. Een dier dat twee keer zo groot is als wij, heeft bijvoorbeeld maar 75% meer voedsel nodig dan wij. Dit betekent dat grotere dieren, per grootte-eenheid, energie-efficiënter zijn dan kleinere. Naarmate dieren groter worden, neemt de energie af die nodig is om elke eenheid te onderhouden.

Eén van de kenmerken van een complex systeem is dat het gedrag van het systeem afwijkt van de simpele optelsom van zijn onderdelen. Dit kenmerk wordt emergent gedrag genoemd. “In veel gevallen,” schrijft Geoffrey West in Scale: The Universal Laws of Growth, Innovation, Sustainability, and the Pace of Life in Organisms, Cities, Economies, and Companies, “lijkt het geheel een eigen leven te gaan leiden, bijna losgekoppeld van de specifieke kenmerken van zijn individuele bouwstenen.”

Dit collectieve resultaat, waarbij een systeem significant andere eigenschappen vertoont dan wanneer alle bijdragen van de afzonderlijke onderdelen worden opgeteld, wordt een emergent gedrag genoemd.

Wanneer we een complex systeem willen begrijpen, zegt onze intuïtie ons dat we het moeten opsplitsen in zijn samenstellende delen. Maar dat is lineair denken, en het verklaart waarom zo veel van ons denken over complexiteit tekort schiet. Kleine veranderingen in een complex systeem kunnen plotselinge en grote veranderingen veroorzaken. Kleine veranderingen veroorzaken cascades tussen de verbonden delen, zoals het omstoten van de eerste dominosteen in een lange rij.

Laten we terugkeren naar het voorbeeld van onze hypothetische gewichtheffer-turned-runner. Naarmate ze meer tijd op de weg doorbrengen, zullen er natuurlijk beperkingen op hun vooruitgang komen.

Herinner je onze exponentiële vergelijking: Y=MX^B. Probeer het toe te passen op de loper. (We gaan het hardlopen vereenvoudigen, maar blijf erbij.)

Y is de afstand die de hardloper kan lopen voordat hij uitgeput raakt. Dat is wat we proberen te berekenen. M, de constante, vertegenwoordigt hun loopvermogen: een combinatie van hun natuurlijke aanleg en hun trainingsgeschiedenis. (Zie het zo: Olympisch kampioen Usain Bolt heeft een hoge M; filmregisseur Woody Allen heeft een lage M.)

Dat laat ons over met de laatste term: X^B. De variabele X staat voor datgene waar we controle over hebben: in dit geval, onze trainingskilometers. Als B, de exponent, tussen 0 en 1 ligt, dan wordt de relatie tussen X en Y – tussen trainingskilometers en uithoudingsvermogen – steeds minder evenredig. Het volstaat een paar getallen in te voeren om het effect te zien.

Laten we M omwille van de eenvoud op 1 zetten. Als B=0.5 en X=4, dan Y=2. Vier kilometer op de weg geeft de atleet de mogelijkheid om twee kilometer per keer te lopen.

Verhoog X tot 16, en Y stijgt slechts tot 4. De loper moet vier keer zoveel kilometers op de weg afleggen om zijn uithoudingsvermogen te verdubbelen.

Hier is de clou: Zowel bij hardlopen als bij gewichtheffen zien we de exponent, B, dalen als we X verhogen! Het verviervoudigen van onze trainingskilometers van 16 naar 64 mijl zal ons uithoudingsvermogen waarschijnlijk niet opnieuw verdubbelen. Daar is misschien wel een 10x groter aantal kilometers voor nodig. Uiteindelijk zal de verhouding tussen het aantal trainingskilometers en het uithoudingsvermogen bijna oneindig worden.

We kennen deze toestand natuurlijk als afnemende meeropbrengsten: het punt waarop meer input steeds minder output oplevert. Niet alleen is het verband tussen trainingskilometers en uithoudingsvermogen in het begin niet lineair, maar het wordt ook minder lineair naarmate we meer trainen.

En hoe zit het met negatieve exponenten?

Het wordt nog interessanter. Als B=-0,5 en X=4, dan is Y=0,5. Vier mijl op de weg levert ons een halve mijl uithoudingsvermogen op. Als X wordt verhoogd tot 16, daalt Y tot 0,25. Meer training, minder uithoudingsvermogen! Dit is te vergelijken met iemand die veel te snel te veel kilometers maakt: de training is niet nuttig en de blessures stapelen zich op.

Bij negatieve getallen geldt: hoe meer X toeneemt, hoe meer Y krimpt. Deze relatie staat bekend als een omgekeerde machtswet. B=-2, bijvoorbeeld, staat bekend als de inverse kwadratenwet en is een belangrijke vergelijking in de natuurkunde.

De relatie tussen zwaartekracht en afstand volgt een inverse machtswet. G is de gravitatieconstante; het is de constante in Newtons gravitatiewet, die de zwaartekracht relateert aan de massa’s en de scheiding van de deeltjes, gelijk aan:

6,67 × 10-11 N m2 kg-2

Elke kracht die uit één punt straalt – met inbegrip van warmte, lichtintensiteit, en magnetische en elektrische krachten – volgt de inverse vierkantswet. Op 1 m afstand van een vuur wordt 4 maal zoveel warmte gevoeld als op 2 m, enzovoort.

Hogere-orde machtswetten

Wanneer B een positief geheel getal is (een geheel getal groter dan nul), zijn er namen voor de machtswetten.

Wanneer B gelijk is aan 1, hebben we een lineair verband, zoals we hierboven hebben besproken. Dit wordt ook wel een eerste-orde machtswet genoemd.

Daarna wordt het pas echt interessant.

Wanneer B gelijk is aan 2, hebben we een tweede-orde machtswet. Een mooi voorbeeld hiervan is kinetische energie. Kinetische energie = 1/2 mv^2

Wanneer B 3 is, hebben we een derde-orde machtswet. Een voorbeeld hiervan is de kracht die door de wind wordt omgezet in rotatie-energie.

Kracht Beschikbaar = ½ (Luchtdichtheid)( πr^2)(Windsnelheid^3)(Vermogenscoëfficiënt)

(Er is hier een natuurlijke limiet. Albert Betz concludeerde in 1919 dat windturbines niet meer dan 59,3% van de kinetische energie van de wind in mechanische energie kunnen omzetten. Dit getal wordt de Betz-limiet genoemd en vertegenwoordigt de bovenstaande vermogenscoëfficiënt.)

De wet van de warmtestraling is een vierde-orde machtswet. Eerst afgeleid door de Oostenrijkse natuurkundige Josef Stefan in 1879 en afzonderlijk door de Oostenrijkse natuurkundige Ludwig Boltzmann, werkt de wet als volgt: de uitgestraalde warmte-energie van een oppervlakte-eenheid in één seconde is gelijk aan de evenredigheidsconstante (de Stefan-Boltzmann-constante) maal de absolute temperatuur tot de vierde macht.

Er is slechts één machtswet met een variabele exponent, en hij wordt beschouwd als een van de krachtigste krachten in het universum. Het is ook de meest onbegrepen. We noemen het samenstelling. De formule ziet er als volgt uit:

Toekomstwaarde = (Contante Waarde)(1+i)^n

waarbij i de rentevoet is, en n het aantal jaren.

In tegenstelling tot de andere vergelijkingen is de relatie tussen X en Y potentieel onbeperkt. Zolang B positief is, zal Y toenemen naarmate X toeneemt.

Niet-integere machtswetten (waarbij B een breuk is, zoals in ons lopende voorbeeld hierboven) zijn ook van groot nut voor natuurkundigen. Formules waarin B=0,5 komen vaak voor.

Stel je een auto voor die met een bepaalde snelheid rijdt. Er geldt een niet-integere machtswet. V is de snelheid van de auto, P is de benzine die per seconde wordt verbrand om die snelheid te bereiken, en A is de luchtweerstand. Om twee keer zo snel te gaan, moet de auto vier keer zo veel benzine verbruiken, en om drie keer zo snel te gaan, moet hij negen keer zo veel benzine verbruiken. De luchtweerstand neemt toe naarmate de snelheid toeneemt, en daarom verbruiken snellere auto’s zulke belachelijke hoeveelheden benzine. Het lijkt misschien logisch te denken dat een auto die van 40 mijl per uur naar 50 mijl per uur gaat, een kwart meer brandstof verbruikt. Dat is echter onjuist, want de relatie tussen luchtweerstand en snelheid is zelf een machtswet.

Een ander voorbeeld van een machtswet is de oppervlakte van een vierkant. Verdubbel de lengte van twee parallelle zijden en de oppervlakte verviervoudigt. Doe hetzelfde voor een 3D kubus, en de oppervlakte neemt toe met een factor acht. Het maakt niet uit of de lengte van het vierkant van 1 cm naar 2 cm is gegaan, of van 100 m naar 200 m; de oppervlakte verviervoudigt nog steeds. We zijn allemaal bekend met machtswetten van de tweede orde (of kwadraten). Deze naam komt van kwadraten, omdat het verband tussen lengte en oppervlakte de manier weerspiegelt waarop tweede-orde machtswetten een getal veranderen. Machtswetten van de derde orde (of kubische) hebben dezelfde naam vanwege hun relatie met kubussen.

Hoe gebruiken we machtswetten in ons leven

Nu we door het ingewikkelde gedeelte heen zijn, laten we eens kijken hoe machtswetten in veel kennisgebieden opduiken. De meeste carrières impliceren een begrip ervan, ook al is het misschien niet zo voor de hand liggend.

The Power Behind Compounding

Compounding is een van onze belangrijkste mentale modellen en is absoluut van vitaal belang om te begrijpen voor beleggen, persoonlijke ontwikkeling, leren, en andere cruciale gebieden van het leven.

In de economie berekenen we samengestelde rente door gebruik te maken van een vergelijking met deze variabelen: P is de oorspronkelijke som geld. P’ is de resulterende som geld, r is de jaarlijkse rentevoet, n is de samengestelde frequentie, en t is de tijdsduur. Met behulp van een vergelijking kunnen we de kracht van compounding illustreren.

Als iemand $1000 op een bank zet voor vijf jaar, tegen een driemaandelijkse rente van 4%, wordt de vergelijking als volgt:

Toekomstige waarde = contante waarde * ((1 + driemaandelijkse rente) ^ aantal kwartalen)

Met deze formule kan worden berekend hoeveel geld er na vijf jaar op de rekening zal staan. Het antwoord is $ 2.220,20.

Compound interest is een machtswet omdat de relatie tussen de tijd dat een som geld op een rekening staat en het bedrag dat aan het eind is opgebouwd niet-lineair is.

In A Random Walk Down Wall Street geeft Burton Malkiel het voorbeeld van twee broers, William en James. William begint op 20-jarige leeftijd en stopt op 40-jarige leeftijd en belegt $4.000 per jaar. Ondertussen investeert James hetzelfde bedrag per jaar tussen zijn 40e en 65e. Tegen de tijd dat William 65 is, heeft hij minder geld geïnvesteerd dan zijn broer, maar heeft hij het 25 jaar lang laten oplopen. Het resultaat is dat wanneer beide broers met pensioen gaan, William 600% meer geld heeft dan James – een verschil van 2 miljoen dollar. Een van de slimste financiële keuzes die we kunnen maken, is om zo vroeg mogelijk te beginnen met sparen: door gebruik te maken van de machtswetten, verhogen we de exponent zo veel mogelijk.

Compound interest kan ons helpen financiële vrijheid en rijkdom te bereiken, zonder de noodzaak van een groot jaarlijks inkomen. Leden van de financiële onafhankelijkheidsbeweging (zoals de blogger Mr. Money Mustache) zijn levende voorbeelden van hoe we machtswetten op ons leven kunnen toepassen.

Al in de jaren 1800 benadrukte Robert G. Ingersoll het belang van samengestelde interest:

Eén dollar tegen samengestelde interest, tegen vierentwintig procent, gedurende honderd jaar, zou een bedrag opleveren dat gelijk is aan onze nationale schuld. Rente eet dag en nacht, en hoe meer het eet, hoe hongeriger het wordt. De boer met schulden, die ’s nachts wakker ligt, kan, als hij luistert, het horen knagen. Als hij niets verschuldigd is, kan hij zijn koren horen groeien. Kom zo snel mogelijk uit de schulden. U hebt ijdele gierigheid en luie economie lang genoeg gesteund.

Compounding kan worden toegepast op andere gebieden dan financiën – persoonlijke ontwikkeling, gezondheid, leren, relaties, en meer. Voor elk gebied kan een kleine input leiden tot een grote output, en de resultaten bouwen op zichzelf voort.

Nonlineair leren van talen

Wanneer we een nieuwe taal leren, is het altijd een goed idee om te beginnen met het leren van de ongeveer 100 meest gebruikte woorden.

In alle bekende talen is een klein percentage woorden goed voor de meerderheid van het gebruik. Dit staat bekend als de wet van Zipf, naar George Kingsley Zipf, die het fenomeen voor het eerst identificeerde. Het meest gebruikte woord in een taal kan 7% van alle gebruikte woorden uitmaken, terwijl het op één na meest gebruikte woord half zo veel wordt gebruikt, enzovoort. Slechts 135 woorden kunnen samen de helft van een taal vormen (zoals gebruikt door moedertaalsprekers).

Waarom Zipf’s wet geldt is niet bekend, hoewel het concept logisch is. Veel talen bevatten een groot aantal specialistische termen die zelden nodig zijn (waaronder juridische of anatomische termen). Een kleine verandering in de frequentierangschikking van een woord betekent een enorme verandering in de bruikbaarheid ervan.

Inzicht in de wet van Zipf is een centraal onderdeel van versneld taal leren. Elk nieuw woord dat we leren vanaf de meest voorkomende 100 woorden zal een enorme impact hebben op ons vermogen om te communiceren. Naarmate we minder gebruikelijke woorden leren, neemt het rendement af. Als elk woord in een taal zou worden gerangschikt in volgorde van gebruiksfrequentie, hoe verder we naar beneden in de lijst gaan, hoe minder nuttig een woord zou zijn.

Power Laws in Business, Explained by Peter Thiel

Peter Thiel, de oprichter van PayPal (en ook een vroege investeerder in Facebook en Palantir), beschouwt machtswetten als een cruciaal concept voor alle zakenmensen om te begrijpen. In zijn fantastische boek Zero to One schrijft Thiel:

Het krachtigste patroon dat ik heb ontdekt, is dat succesvolle mensen waarde vinden op onverwachte plaatsen, en dat doen ze door zaken te benaderen vanuit eerste beginselen in plaats van formules.

En:

In 1906 ontdekte de econoom Vilfredo Pareto wat het “Pareto-principe” of de 80-20-regel werd, toen hij merkte dat 20% van de mensen 80% van het land in Italië bezat – een fenomeen dat hij net zo natuurlijk vond als het feit dat 20% van de erwten in zijn tuin 80% van de erwten produceerden. Dit buitengewoon grimmige patroon, waarbij een kleine minderheid alle rivalen radicaal overvleugelt, omringt ons overal in de natuurlijke en sociale wereld. De meest verwoestende aardbevingen zijn vele malen krachtiger dan alle kleinere aardbevingen bij elkaar. De grootste steden doen alle gewone steden samen in de schaduw staan. En bedrijven met een monopoliepositie veroveren meer waarde dan miljoenen ongedifferentieerde concurrenten. Wat Einstein ook wel of niet gezegd heeft, de machtswet – zo genoemd omdat exponentiële vergelijkingen zeer ongelijke verdelingen beschrijven – is de wet van het universum. Hij bepaalt onze omgeving zo volledig dat we hem meestal niet eens zien.

… n durfkapitaal, waar investeerders proberen te profiteren van exponentiële groei in bedrijven in een vroeg stadium, bereiken enkele bedrijven exponentieel meer waarde dan alle andere. … we leven niet in een normale wereld; we leven onder een machtswet.

… Het grootste geheim in durfkapitaal is dat de beste investering in een succesvol fonds gelijk is aan of beter presteert dan de hele rest van het fonds samen.

Dit impliceert twee zeer vreemde regels voor durfkapitalisten. Ten eerste, investeer alleen in bedrijven die de potentie hebben om de waarde van het gehele fonds terug te brengen. … Dit leidt tot regel nummer twee: omdat regel nummer één zo beperkend is, kunnen er geen andere regels zijn.

…ife is geen portefeuille: niet voor een startup-oprichter, en niet voor enig individu. Een ondernemer kan zichzelf niet “diversifiëren”; je kunt niet tientallen bedrijven tegelijk runnen en dan hopen dat een van die bedrijven goed uitpakt. Minder voor de hand liggend, maar net zo belangrijk, kan een individu zijn eigen leven niet diversifiëren door tientallen even mogelijke carrières in reserve te houden.

Thiel geeft een les genaamd Startup op Stanford, waar hij de waarde van het begrijpen van machtswetten hamert. In zijn les, geeft hij overvloedige wijsheid door. Uit Blake Masters’ aantekeningen over klas 7:

Bedenk een prototypisch succesvol durfkapitaalfonds. Een aantal investeringen gaan naar nul over een periode van tijd. Dat gebeurt eerder vroeger dan later. De investeringen die slagen, doen dat volgens een soort exponentiële curve. Tel dit op over de levensduur van een portefeuille en je krijgt een J-curve. Vroege investeringen mislukken. Je moet beheerskosten betalen. Maar dan vindt de exponentiële groei plaats, althans in theorie. Aangezien je onder water begint, is de grote vraag wanneer je boven de waterlijn komt. Veel fondsen komen daar nooit.

Om die grote vraag te beantwoorden, moet je een andere stellen: hoe ziet de verdeling van de rendementen in durfkapitaalfondsen eruit? Het naïeve antwoord is gewoon om bedrijven te rangschikken van beste naar slechtste volgens hun rendement in veelvoud van de geïnvesteerde dollars. Mensen hebben de neiging investeringen te groeperen in drie emmers. De slechte bedrijven gaan naar nul. De middelmatige doen misschien 1x, dus je verliest niet veel of wint niet veel. En dan de grote bedrijven misschien 3-10x.

Maar dat model mist het belangrijkste inzicht dat de werkelijke rendementen ongelooflijk scheef zijn. Hoe meer een VC dit scheefgroei patroon begrijpt, hoe beter de VC. Slechte VC’s hebben de neiging te denken dat de stippellijn vlak is, d.w.z. dat alle bedrijven gelijk zijn, en dat sommige gewoon falen, wielen draaien, of groeien. In werkelijkheid krijg je een machtswetverdeling.

Thiel legt uit hoe investeerders het mentale model van machtswetten kunnen toepassen (meer uit Masters’ aantekeningen over klas 7):

…Gegeven een grote machtswetverdeling, wil je vrij geconcentreerd zijn. …Er zijn gewoon niet zoveel bedrijven waar je de vereiste hoge mate van overtuiging over kunt hebben. Een beter model is om te investeren in misschien 7 of 8 veelbelovende bedrijven waarvan je denkt dat je een 10x rendement kunt krijgen. …

Ondanks dat het wortelt in de wiskunde van de middelbare school, is exponentieel denken moeilijk. We leven in een wereld waarin we normaal gesproken niets exponentieel ervaren. Onze algemene levenservaring is vrij lineair. We onderschatten exponentiële dingen enorm.

Hij waarschuwt ook tegen te veel vertrouwen op machtswetten als strategie (een bewering die in gedachten moet worden gehouden voor alle mentale modellen). Uit Masters’ aantekeningen:

Moet men niet mechanisch worden over deze heuristiek, of hem behandelen als een of andere onveranderlijke investeringsstrategie. Maar het blijkt eigenlijk best goed te werken, dus het dwingt je op zijn minst om na te denken over power law verdelingen.

Inzicht in exponenten en power law verdelingen gaat niet alleen over het begrijpen van VC. Er zijn ook belangrijke persoonlijke toepassingen. Veel dingen, zoals belangrijke beslissingen in het leven of het starten van een bedrijf, resulteren ook in soortgelijke verdelingen.

Thiel legt vervolgens uit waarom oprichters zich zouden moeten richten op één belangrijke inkomstenstroom, in plaats van te proberen meerdere gelijke stromen op te bouwen:

Zelfs binnen een individueel bedrijf is er waarschijnlijk een soort machtswet over wat de drijvende kracht zal zijn. Het is verontrustend als een startup volhoudt dat het op veel verschillende manieren geld gaat verdienen. De machtswetverdeling over inkomsten zegt dat één bron van inkomsten al het andere zal domineren.

Als je bijvoorbeeld als ondernemer een koffiezaak opent, kun je op veel verschillende manieren geld verdienen. U kunt koffie, gebak, schilderijen, merchandise en nog veel meer verkopen. Maar elk van die dingen zal niet in gelijke mate bijdragen aan je succes. Hoewel het ontdekkingsproces waardevol is, moet je, als je eenmaal de variabele hebt gevonden die het belangrijkst is, meer tijd besteden aan die ene en minder aan de andere. Het belang van het vinden van deze variabele kan niet worden overschat.

Hij erkent ook dat machtswetten een van de grote geheimen van beleggingssucces zijn. Uit Masters’ aantekeningen over klas 11:

Op één niveau zijn de anti-concurrentie, de machtswetten en de distributiegeheimen allemaal geheimen over de natuur. Maar het zijn ook geheimen verborgen door mensen. Dat is cruciaal om te onthouden. Stel, je doet een experiment in een lab. Je probeert achter een natuurgeheim te komen. Maar elke nacht komt er iemand anders in het lab en knoeit met je resultaten. Je zult niet begrijpen wat er aan de hand is als je je beperkt tot de natuurkant van de zaak. Het is niet genoeg om een interessant experiment te vinden en het uit te voeren. Je moet ook het menselijke deel begrijpen.

… We weten dat, volgens het geheim van de machtswet, bedrijven niet gelijkmatig verdeeld zijn. De verdeling neigt naar tweemodaal; er zijn een paar geweldige, en dan zijn er veel die helemaal niet werken. Maar dit begrijpen is niet genoeg. Er is een groot verschil tussen het begrijpen van het machtswet geheim in theorie en het kunnen toepassen ervan in de praktijk.

De sleutel tot alle mentale modellen is het kennen van de feiten en het kunnen gebruiken van het concept. Zoals George Box zei: “Alle modellen zijn vals, maar sommige zijn nuttig.” Zodra we de basis begrijpen, is de beste volgende stap uit te zoeken hoe we het kunnen toepassen.

De metafoor van een onzichtbare persoon die laboratoriumresultaten saboteert, is een uitstekende metafoor voor hoe cognitieve vooroordelen en snelkoppelingen ons oordeel vertroebelen.

Natuurlijke Machtswetten

Iedereen die veel huisdieren heeft gehouden, zal het verband hebben opgemerkt tussen de grootte van een dier en zijn levensduur. Kleine dieren, zoals muizen en hamsters, leven meestal een jaar of twee. Grotere dieren, zoals honden en katten, kunnen 10 tot 20 jaar oud worden, of in zeldzame gevallen zelfs ouder. Nog groter, sommige walvissen kunnen wel 200 jaar worden. Dit komt neer op machtswetten.

Biologen hebben duidelijke verbanden gevonden tussen de grootte van een dier en zijn metabolisme. De wet van Kleiber (vastgesteld door Max Kleiber) stelt dat de stofwisselingssnelheid van een dier toeneemt met drievierde van de macht van het gewicht (de massa) van het dier. Als een gemiddeld konijn (2 kg) honderd keer zoveel weegt als een gemiddelde muis (20 g), zal de stofwisselingssnelheid van het konijn 32 keer zo hoog zijn als die van de muis. Met andere woorden, de structuur van het konijn is efficiënter. Het komt allemaal neer op de geometrie achter hun massa.

Dit leidt ons naar een andere biologische machtswet: Kleinere dieren hebben meer energie nodig per gram lichaamsgewicht, wat betekent dat muizen elke dag ongeveer de helft van hun lichaamsgewicht aan dicht voedsel eten. De reden is dat, in termen van het percentage massa, grotere dieren meer structuur hebben (botten, enz.) en minder reserves (vetopslagplaatsen).

Onderzoek heeft geïllustreerd hoe de machtswetten van toepassing zijn op de bloedsomloop bij dieren. De eindapparaten waardoor zuurstof, water en voedingsstoffen vanuit de bloedbaan de cellen binnenkomen, zijn bij alle dieren even groot. Alleen het aantal per dier varieert. Het verband tussen de totale oppervlakte van deze eenheden en de grootte van het dier is een derde-orde machtswet. De afstand die het bloed aflegt om in de cellen te komen, en het werkelijke volume van het bloed zijn ook onderworpen aan machtswetten.

De wet van de afnemende meeropbrengsten

Zoals we hebben gezien, kan een kleine verandering in het ene gebied leiden tot een enorme verandering in het andere. Maar voorbij een bepaald punt begint de afnemende meeropbrengst en wordt meer erger. Een uur extra werken per dag kan betekenen dat er meer gedaan wordt, terwijl drie uur extra werken er waarschijnlijk toe zal leiden dat er minder gedaan wordt door uitputting. Van een zittende levensstijl overgaan op twee dagen per week hardlopen kan leiden tot een sterk verbeterde gezondheid, maar de stap zetten naar zeven dagen per week zal blessures veroorzaken. Overijverigheid kan een positieve exponent in een negatieve exponent veranderen. Voor een druk restaurant betekent het inhuren van een extra kok dat er meer mensen kunnen worden bediend, maar het inhuren van twee nieuwe koks kan de spreekwoordelijke bouillon bederven.

Misschien wel de meest ondergewaardeerde afnemende meeropbrengst, degene waar we nooit aan de verkeerde kant van willen belanden, is die tussen geld en geluk.

In David and Goliath, bespreekt Malcolm Gladwell hoe afnemende meeropbrengsten betrekking hebben op gezinsinkomens. De meeste mensen gaan ervan uit dat hoe meer geld ze verdienen, hoe gelukkiger zij en hun gezin zullen zijn. Dit is waar – tot op zekere hoogte. Een inkomen dat te laag is om in de basisbehoeften te voorzien, maakt mensen ellendig en leidt tot veel meer lichamelijke en geestelijke gezondheidsproblemen. Iemand die van een inkomen van 30.000 dollar per jaar naar een inkomen van 40.000 dollar gaat, zal waarschijnlijk een dramatische toename van geluk ervaren. Maar van $100.000 naar $110.000 leidt tot een verwaarloosbare verandering in welzijn.

Gladwell schrijft:

De geleerden die onderzoek doen naar geluk, suggereren dat meer geld mensen niet gelukkiger maakt bij een gezinsinkomen van rond de vijfenzeventigduizend dollar per jaar. Daarna treedt wat economen “afnemende marginale opbrengsten” noemen in werking. Als jouw gezin vijfenzeventigduizend dollar verdient en je buurman honderdduizend, dan betekent die vijfentwintigduizend extra per jaar dat je buurman in een mooiere auto kan rijden en iets vaker uit eten kan gaan. Maar het maakt je buurman niet gelukkiger dan jij, of beter toegerust om de duizenden kleine en grote dingen te doen die een goede ouder zijn.