Becker volgde het Conservatorium voor Dramatische Kunst in Frankrijk, het hof Florent (Olga Hörstig-prijs) en de Royal Academy of Dramatic Art van Londen.
Hij maakte deel uit van de promotie van Young Talents Cannes in 2010. Datzelfde jaar maakte hij zijn debuut op het scherm in verschillende rollen. Hij speelde een jonge politicus in L’Assaut, geregisseerd door Julien Leclercq, een alcoholische lifter in La Proie, geregisseerd door Eric Valette, een student in Marie-Castille Mention Schaar’s Ma Première Fois en een jonge zakenman in La Croisière, van Pascale Pouzadoux.
In 2010 maakte hij zijn debuut in Hollywood, waar hij Louis Grimaldi, prins van Monaco, speelde in het CW-drama Gossip Girl. Aanvankelijk tekende hij voor twee afleveringen in het vierde seizoen. Later werd zijn rol verlengd met nog eens achttien afleveringen.
In 2011 speelde hij Xavier in de Amerikaanse film Damsels in Distress, geregisseerd door Whit Stillman (Oscar genomineerd voor zijn film Metropolitan). De film sloot het 68e filmfestival van Venetië af en werd geselecteerd op het filmfestival van Toronto.
In 2012 speelde Becker de hoofdrol als Antoine Lavoisier in de Amerikaanse docufictie Mystery of the Matter, geregisseerd door M. Meyer. In 2013 speelde Hugo Isaac Dreyfuss, een voetbalster die verwikkeld is in een terroristische affaire, voor twee afleveringen van een BBC3-serie.
In 2014 speelde hij de rol van Romain in de 6 afleveringen van de miniserie Chefs naast Clovis Cornillac, waarvoor hij de Adami-prijs voor de beste veelbelovende acteur ontving op het festival van Luchon.
In 2015 en 2018 speelde hij de hoofdrol van André Merlaux, een jonge rekruut bij de Franse geheime dienst in het jaar 1960, in de twee seizoenen (24 afleveringen) van de Franse televisieserie Au service de la France, in het Engels bekend als A Very Secret Service.
In 2016 begon hij met de rol van Cyril Balsan in de politieke dramaserie Baron Noir naast Niels Arestrup, Kad Merad en Anna Mouglalis. In datzelfde jaar speelde hij een hoofdrol naast Yon González en Lluís Homar in de Spaanse misdaaddramaserie Bajo sospecha. Hij speelde de rol van een politieagent die geïnfiltreerd is om een vermiste persoon te vinden in een ziekenhuis in Madrid. Hij speelde ook de rol van Guillaume in de komedie Un jour mon prince, geregisseerd door Flavia Coste.
In 2018 speelde hij de hoofdrol in Paradise Beach van Xavier Durringer naast Sami Bouajila, Kool Shen, Seth Gueko en Tewfik Jallab. In hetzelfde jaar speelde hij in Jusqu’ici tout va bien, van Mohamed Hamidi, naast Gilles Lellouche, Malik Bentalha en Sabrina Ouazani.
In 2019 speelde hij als Paul Vanhove in de Netflix sciencefictionserie Osmosis. Hij staat op het punt om een rol te spelen als Paul WR in Le dernier voyage de l’énigmatique Paul W.R. van Romain Quirot en als Max in de film Döner geregisseerd door Jean-Luc Herbulot.
Hugo Becker spreekt vloeiend Engels en Spaans.
Sinds 2014 is hij een van de producenten bij Nouvelle Donne Productions.