Elektronen zijn een voorbeeld van een type deeltje dat een fermion wordt genoemd. Andere fermionen zijn protonen en neutronen. Naast hun lading en massa hebben elektronen nog een andere fundamentele eigenschap, spin genaamd. Een deeltje met spin gedraagt zich alsof het een intrinsiek impulsmoment heeft. Hierdoor heeft elk elektron een kleine magnetische dipool. Het spin-kwantumgetal is de projectie langs een willekeurige as (in leerboeken meestal de z-as genoemd) van de spin van een deeltje, uitgedrukt in eenheden van h. Elektronen hebben spin ½, die op twee mogelijke manieren kan worden gericht, meestal aangeduid als “spin up” of “spin down”.
Alle fermionen hebben half-integer spin. Een deeltje met gehele spin wordt een boson genoemd. Fotonen, die spin 1 hebben, zijn voorbeelden van bosonen. Een gevolg van de half-integere spin van fermionen is dat dit een beperking oplegt aan het gedrag van een systeem dat meer dan één fermion bevat.
Deze beperking is het Pauli uitsluitingsbeginsel, dat zegt dat geen twee fermionen precies dezelfde verzameling quantumgetallen kunnen hebben. Om deze reden kunnen slechts twee elektronen elk elektron energieniveau bezetten – één elektron kan spin up hebben en het andere spin down, zodat zij verschillende spin quantum nummers hebben, ook al hebben de elektronen dezelfde energie.
Deze beperkingen op het gedrag van een systeem van vele fermionen kunnen statistisch worden behandeld. Het resultaat is dat de elektronen over de beschikbare energieniveaus worden verdeeld volgens de Fermi Dirac-verdeling:
waarbij f(ε) de bezettingskans is van een toestand met energie ε, kB de constante van Boltzmann is, μ (de Griekse letter mu) de chemische potentiaal is, en T de temperatuur in Kelvin is.
De verdeling beschrijft de bezettingskans voor een kwantumtoestand van energie E bij een temperatuur T. Als de energieën van de beschikbare elektronentoestanden en de ontaarding van de toestanden (het aantal elektronentoestanden met dezelfde energie) beide bekend zijn, kan deze verdeling worden gebruikt om thermodynamische eigenschappen van elektronensystemen te berekenen.
Bij het absolute nulpunt is de waarde van de chemische potentiaal, μ, gedefinieerd als de Fermi-energie. Bij kamertemperatuur is de chemische potentiaal voor metalen vrijwel gelijk aan de Fermi-energie – gewoonlijk is het verschil slechts van de orde van 0,01%. Het is dan ook niet verwonderlijk dat de chemische potentiaal voor metalen bij kamertemperatuur vaak wordt gelijkgesteld aan de Fermi-energie. Voor een zuivere ongedoopte halfgeleider bij eindige temperatuur ligt de chemische potentiaal altijd halverwege tussen de valentieband en de geleidingsband. Zoals wij in een volgend hoofdstuk van deze TLP zullen zien, heeft de chemische potentiaal in extrinsieke (gedopeerde) halfgeleiders echter een significante temperatuurafhankelijkheid.
Om het gedrag van elektronen bij eindige temperatuur in metalen en zuivere niet-gedoteerde halfgeleiders kwalitatief te begrijpen, is het duidelijk voldoende μ bij een eerste benadering als een constante te behandelen. Met deze benadering kan de Fermi-Dirac verdeling bij verschillende temperaturen worden uitgezet. In de onderstaande figuur is μ op 5 eV gesteld.
Uit deze figuur blijkt duidelijk dat de verdeling bij het absolute nulpunt een stapfunctie is. Zij heeft de waarde 1 voor energieën beneden de Fermi-energie, en de waarde 0 voor energieën erboven. Bij eindige temperaturen wordt de verdeling uitgesmeerd, omdat sommige elektronen thermisch geëxciteerd beginnen te worden tot energieniveaus boven de chemische potentiaal, μ. De figuur laat zien dat bij kamertemperatuur de verdelingsfunctie nog steeds niet ver afstaat van het zijn van een stapfunctie.
vorige | volgende