Szimbolikus logika
Michael Genesereth
Computer Science Department
Stanford University
Bár lehetséges a logikát csak angol nyelven tanítani, ez problematikus. A természetes nyelvi mondatok összetettek lehetnek; lehetnek kétértelműek; és ha nem értjük meg egy mondat jelentését, az az érvelés hibáihoz vezethet.
Még a nagyon egyszerű mondatok is gondot okozhatnak. Itt két nyelvtanilag törvényszerű mondatot látunk. Az utolsó szó kivételével mindenben megegyeznek, de szerkezetük teljesen más. Az elsőben a főige a virágzik, míg a másodikban a virágzik főnév, a főige pedig a süllyedt.
A cseresznyevirág tavasszal virágzik.
A cseresznyevirág tavasszal süllyedt.
A nyelvtani bonyolultság másik példájaként nézzük meg a következő részletet, amely a Michigani Egyetem bérleti szerződéséből származik. A mondat ebben az esetben kellően hosszú és a nyelvtani szerkezet kellően összetett ahhoz, hogy az embereknek gyakran többször is el kell olvasniuk ahhoz, hogy pontosan megértsék, mit mond.
Az Egyetem felmondhatja ezt a bérleti szerződést, ha a bérlő, aki a beiratkozást megelőzően jelentkezett és aláírta ezt a bérleti szerződést, nem jogosult a beiratkozásra, vagy nem iratkozik be az Egyetemre, vagy a bérleti szerződés lejárta előtt bármikor elhagyja az Egyetemet, vagy a bérleti szerződés bármely rendelkezésének megsértése miatt, vagy a lakóházakra vonatkozó egyetemi szabályzat megsértése miatt, vagy egészségügyi okokból, a felmondás hatálybalépése előtt 30 nappal a hallgatót írásban értesíti a felmondásról, kivéve, ha az élet, a testi épség vagy a tulajdon veszélybe kerülne, a bérlő szövetségi, állami vagy helyi törvények megsértésével ellenőrzött anyagok értékesítésében vagy vásárlásában vesz részt, vagy a bérlő már nem hallgató, vagy a bérlő lőfegyverek, robbanóanyagok, gyúlékony folyadékok, tűzijátékok vagy más veszélyes fegyverek használatában vagy birtoklásában vesz részt az épületben, vagy téves riasztást jelent, amely esetekben legfeljebb 24 órás értesítés elegendő.
A kétértelműség példájaként tegyük fel, hogy leírom a következő mondatot: Van egy lány a szobában egy távcsővel. Ennek a mondatnak két lehetséges jelentését lásd a 6. ábrán. Azt mondom, hogy van egy lány a szobában, amelyben egy távcső van? Vagy azt mondom, hogy van egy lány a szobában, és egy távcső van a kezében?
6. ábra – Van egy lány a szobában egy távcsővel.
Az ilyen bonyolultságok és kétértelműségek néha humorosak lehetnek, ha a szerző által nem szándékolt értelmezésekhez vezetnek. Lásd az alábbi példákat néhány hírhedt, többféleképpen értelmezhető újságcímről. A formális nyelv használata kiküszöböli az ilyen nem szándékos kétértelműségeket (és jobb híján a nem szándékos humort is).
|
Crowds Rushing to See Pope Trample 6 to Death Journal Star, Peoria, 1980
|
||||
|
||||
|
||||
|
Fried Chicken Cooked in Microwave Wins Trip The Oregonian, Portland, 1981
|
A természetes nyelvi mondatokkal való érvelés során felmerülő hibák illusztrálására tekintsük a következő példákat. Az elsőben a jobb reláció tranzitivitását használjuk arra, hogy a pezsgő és a sör relatív minőségéből, illetve a sör és a szóda relatív minőségéből következtetést vonjunk le a pezsgő és a szóda relatív minőségére. Eddig minden rendben.
A pezsgő jobb, mint a sör.
A sör jobb, mint a szóda.
Ezért a pezsgő jobb, mint a szóda.
Most nézzük meg, mi történik, ha ugyanezt a tranzitivitási szabályt alkalmazzuk az alábbiakban bemutatott esetben. Az érvelés formája ugyanaz, mint az előbb, de a következtetés valamivel kevésbé hihető. A probléma ebben az esetben az, hogy a semmi használata itt szintaktikailag hasonló a sör használatához az előző példában, de az angolban valami egészen mást jelent.
A rossz szex jobb, mint a semmi.
A semmi sem jobb, mint a jó szex.
Ezért a rossz szex jobb, mint a jó szex.
A szimbolikus logika kiküszöböli ezeket a nehézségeket az információ kódolására szolgáló formális nyelv használatával. E formális nyelv szintaxisának és szemantikájának ismeretében pontos definíciót adhatunk a logikai következtetés fogalmára. Sőt, pontos következtetési szabályokat állíthatunk fel, amelyek minden és csakis logikai következtetést eredményeznek.
Ebben a tekintetben erős analógia van a formális logika és a középiskolai algebra módszerei között. Ennek az analógiának a szemléltetésére tekintsük a következő algebrai feladatot:
Xavier háromszor annyi idős, mint Yolanda. Xavier és Yolanda életkora együttesen tizenkettő. Hány éves Xavier és Yolanda?
Tipikusan egy ilyen probléma megoldásának első lépése, hogy az információt egyenletek formájában fejezzük ki. Ha x jelképezze Xavier életkorát, y pedig Yolanda életkorát, akkor a probléma lényegi információit az alábbiak szerint rögzíthetjük.
x – 3y = 0
x + y = 12
Az algebra módszereit felhasználva ezután ezeket a kifejezéseket manipulálva megoldhatjuk a feladatot. Először kivonjuk a második egyenletet az elsőből.
x – 3y = 0
x + y = 12
-4y = -12
Ezután a kapott egyenlet mindkét oldalát elosztjuk -4-gyel, hogy megkapjuk y értékét. Ezután visszahelyezzük az előző egyenletek egyikébe, és megkapjuk x értékét.
x = 9
y = 3
Most nézzük meg a következő logikai problémát.
Ha Mary szereti Patet, akkor Mary szereti Quincy-t. Ha hétfő van és esik az eső, akkor Mary Patet vagy Quincy-t szereti. Ha hétfő van és esik az eső, akkor Mary szereti Quincy-t?
Az algebrai problémához hasonlóan az első lépés a formalizálás. Jelölje p azt a lehetőséget, hogy Mary szereti Patet; q azt a lehetőséget, hogy Mary szereti Quincy-t; m azt a lehetőséget, hogy hétfő van; és r azt a lehetőséget, hogy esik az eső.
Ezekkel a rövidítésekkel a következő logikai mondatokkal tudjuk ábrázolni a probléma lényeges információit. Az első azt mondja ki, hogy p implikálja q-t, azaz ha Mary szereti Patet, akkor Mary szereti Quincy-t. A második azt mondja, hogy m és r implikálja p-t vagy q-t, azaz ha hétfő van és esik az eső, akkor Mary szereti Pat-et vagy Mary szereti Quincy-t.
| p | ⇒ | q | |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
Az algebrához hasonlóan, A formális logika definiál bizonyos műveleteket, amelyeket kifejezések manipulálására használhatunk. Az alább látható művelet az úgynevezett tételes felbontásnak egy változata. A sor feletti kifejezések a szabály premisszái, az alatta lévő kifejezés pedig a konklúzió.
| p1 ∧ …. ∧ pk | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql |
| r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | s1 ∨ …. ∨ sn |
| p1 ∧ … ∧ pk ∧ r1 ∧ … ∧ rm | ⇒ | q1 ∨ … ∨ ql ∨ s1 ∨ … ∨ sn |
A műveletnek két kidolgozása van. (1) Ha az egyik mondat bal oldalán álló tétel megegyezik a másik mondat jobb oldalán álló tétellel, akkor a két szimbólumot nyugodtan elhagyhatjuk, azzal a kikötéssel, hogy csak egy ilyen pár elhagyható. (2) Ha egy állandóság egyetlen mondat azonos oldalán ismétlődik, egy kivételével az összes előfordulás törölhető.
Megoldhatjuk ezzel a művelettel Mária szerelmi életének problémáját. Ha megnézzük a fenti két premisszát, észrevesszük, hogy p az egyik mondat bal oldalán, a másiknak pedig a jobb oldalán fordul elő. Következésképpen törölhetjük a p-t, és ezáltal levezethetjük a következtetést, hogy ha hétfő van és esik az eső, akkor Mary szereti Quincy-t vagy Mary szereti Quincy-t.
| p | ⇒ | q |
| m ∧ r | ⇒ | p ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
A megismételt szimbólumot a jobb oldalra helyezve, arra a következtetésre jutunk, hogy ha hétfő van és esik az eső, akkor Mary szereti Quincy-t.
| m ∧ r | ⇒ | q ∨ q |
| m ∧ r | ⇒ | q |
Ez a példa azért érdekes, mert bemutatja a logikai információ kódolására szolgáló formális nyelvünket. Az algebrához hasonlóan szimbólumokat használunk a kérdéses világ releváns aspektusainak reprezentálására, és operátorokat használunk e szimbólumok összekapcsolására, hogy információt fejezzünk ki azokról a dolgokról, amelyeket a szimbólumok reprezentálnak.
A példa bemutatja a formális logika egyik legfontosabb műveletét is, nevezetesen a felbontást (ebben az esetben a felbontás egy korlátozott formáját). A felbontásnak megvan az a tulajdonsága, hogy a logikai problémák egy fontos osztályára nézve teljes, azaz ez az egyetlen művelet, amely az osztály bármelyik problémájának megoldásához szükséges.