A negatív számok logaritmusai nem definiáltak a valós számokban, ugyanúgy, ahogy a negatív számok négyzetgyökei sem definiáltak a valós számokban. Ha egy negatív szám logaritmusát kell megkeresni, a legtöbb esetben elegendő a “nem definiált” válasz.
Egyet ki lehet értékelni, azonban a válasz egy komplex szám lesz. (egy #a + bi# alakú szám, ahol #i = sqrt(-1)#)
Ha ismered a komplex számokat, és kényelmesen dolgozol velük, akkor olvass tovább.
Először is kezdjük egy általános esettel:
#log_b (-x) = ?#
A későbbi könnyebbség kedvéért használjuk az alapváltási szabályt, és természetes logaritmusra konvertáljuk:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Megjegyezzük, hogy #ln(-x)# ugyanaz, mint #ln(-1 * x)#. Kihasználhatjuk a logaritmusok összeadási tulajdonságát, és szétválaszthatjuk ezt a részt két külön logaritmusra:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Most már csak az a gond, hogy kitaláljuk, mi az #ln(-1)#. Elsőre lehetetlen dolognak tűnhet kiértékelni, de van egy elég híres egyenlet, az Euler-identitás, amely segíthet nekünk.
Az Euler-identitás kimondja:
#e^(ipi) = -1#
Ez az eredmény a szinusz és a koszinusz hatványsoros kiterjesztéséből származik. (Ezt nem magyarázom el túl mélyen, de ha érdekel, itt van egy szép oldal, ami egy kicsit bővebben kifejti)
Előre vegyük egyszerűen az Euler-identitás mindkét oldalának természetes logaritmusát:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Egyszerűsítve:
#ipi = ln(-1)#
Szóval, most, hogy tudjuk, mi az #ln(-1)#, visszahelyezhetjük az egyenletünkbe:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Már van egy képletünk a negatív számok logaritmusának megtalálására. Ha tehát ki akarunk értékelni valami olyasmit, mint #log_2 10#, akkor egyszerűen bedughatunk néhány értéket:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#approx 3.3219 + 4.5324i#