Melyik a legnagyobb szám a világon?

Ha valaha is megkérdezted már, hogy mi a legnagyobb szám egy matematikaórán, akkor nagyon valószínű, hogy egy okos szikra a következő választ adta: “Ez könnyű! Természetesen a végtelen!”

A végtelennel csak az a baj, hogy nem egy szám, mint olyan, amint azt az alábbi, két fényes szikra közötti beszélgetés is mutatja.

Egyes fényes szikra:

Kettes fényes szikra: “Nos, én tudok neked egy nagyobb számot – a végtelen plusz egy!”

Ismét az egyes fényes szikra: “A végtelen a legnagyobb szám a világon, ez könnyű!”

Ismét az egyes fényes szikra: “

A beszélgetés így folytatódik a végtelennek tűnő ideig, amíg egyik fényes szikra sem jut el a világ legnagyobb számához.

A két fényes szikra hamarosan rájön, hogy a végtelen valójában nem is egy szám, hanem inkább egy fogalom. Amit a két fényes szikrának még senki sem mondott el arról a megdöbbentő gondolatról, hogy a végtelennek különböző méretei vannak! Hogyan számoljuk ki tehát a legnagyobb számot?

A számoló számok végtelensége

A végtelen méretű számhalmaz legegyszerűbben úgy hozható létre, hogy egész számokban számolunk felfelé. Ezt a számhalmazt természetes számoknak nevezzük, és nyilvánvalóan végtelen méretű, hiszen a végtelenségig folytathatjuk a számolást. Ennek a halmaznak a jelölésére a szimbólumot használjuk, amely a “természetes számokat” jelenti.

Nézzünk most egy másik számlistát, és nevezzük ezt a halmazt -nek (saját jelölésünk):

A halmaz szintén végtelen méretű, de látszólag eggyel kevesebb számot tartalmaz, mint a . Ugyanolyan méretűek?

Megmutathatjuk, hogy a és a valóban azonos méretűek, ha megmutatjuk, hogy a és a elemei között egy az egyhez megfeleltetés van.

…

Eddig azt mondtuk volna, hogy a mérete egyszerűen a végtelen, amit a nyolcas számként írunk az oldalára:.

Most azonban most fogjuk megtudni, hogy a végtelennek különböző méretei vannak, ezért most a méretét úgy jelöljük meg, hogy , amit úgy ejtünk ki, mint “alef nulla”. A a végtelen legkisebb mérete, és a mi halmazunk is méretű.

Más halmazok, amelyeknek a mérete

Még sok más számhalmaz van, amelyeknek a végtelen mérete . Ezek közé tartozik a pozitív páros egész számok halmaza, valamint az úgynevezett racionális számok halmaza. A racionális számok mindazok a számok, amelyek törtként írhatók fel. Ha egy számhalmaz mérete , akkor azt mondjuk, hogy megszámlálható.

Minden lehetséges törtet felírhatunk egy táblázatba, mint amilyen az alábbi. Az egyenértékű törtek többször is előfordulhatnak, például , azonban az ismétlődéseket könnyen eltávolíthatjuk a táblázatból. Ezután felrajzolhatunk egy átlós mintát, amely lehetővé teszi, hogy a törtjeinket egy listába helyezzük. Most már marad egy rendezett listánk a törtekből …

Ha van egy listánk a törtekből, akkor azok megszámlálhatók, ezért a racionális számokról azt mondjuk, hogy megszámlálhatók.

Hogyan találjuk meg a végtelennek azt a méretét, amely nagyobb, mint?

Nem minden szám írható törtként. Azokat a számokat, amelyek nem írhatók törtként, irracionális számoknak nevezzük. Jól ismert példák közé tartozik az és az olyan szúrások, mint a és a .

Az olyan irracionális számok, mint az (3,1415926535…) tizedes kiterjesztése a végtelenségig tart, és ezeket a számokat soha nem lehet törtként leírni, még akkor sem, ha az emberek szeretik a -t használni az közelítéseként.

Nézzük most az összes olyan számok halmazát, amelyek 0 és 1 között vannak. Ez a halmaz tartalmazni fog racionális számokat, mint például , valamint irracionális számokat, mint például Ez a számhalmaz egyértelműen végtelen méretű, hiszen mindig egyre több olyan számot tudunk elképzelni, amelyek a (0,1) intervallumba esnek.

1873-ban egy Georg Cantor nevű német matematikus kitalált egy nagyon okos bizonyítást arra, hogy a (0,1) intervallumban lévő összes valós számok halmazának mérete nagyobb végtelen, mint a természetes számok halmazának mérete .

Cantor híres átlós érvének összefoglalása.

Tegyük fel, hogy a (0,1) intervallumban lévő összes valós számok halmazának mérete megegyezik a méretével. Ezután készíthetnénk egy listát, amelyben megpróbáljuk végigszámolni a 0 és 1 közötti valós számokat. Valahogy így nézhetne ki, ha nem lennénk nagyon logikusak:

Kantor igazán okos következő lépése az volt, hogy konstruált egy új számot, amely nem szerepel a listán. Cantor érvelése akkor is működik, ha egy olyan listát használunk, mint a fenti, vagy akár akkor is, ha aprólékosan megpróbálunk egy olyan logikai listát készíteni, amely megpróbál minden 0 és 1 közötti számot megragadni:

Cantor okos módja egy olyan szám kiválasztásának, amely nem szerepel a listán.