8.3 Autoregresszív modellek
A többszörös regressziós modellben a prediktorok lineáris kombinációjának segítségével prognosztizáljuk a vizsgált változót. Egy autoregressziós modellben a változó múltbeli értékeinek lineáris kombinációjával prognosztizáljuk az érdeklődő változót. Az autoregresszió kifejezés azt jelzi, hogy a változó önmagával szembeni regressziójáról van szó.
Az \(p\) rendű autoregresszív modell tehát felírható úgy, hogy \(\(\varepsilon_t\) fehér zaj. Ez olyan, mint egy többszörös regresszió, de \(y_t\) késleltetett értékeivel mint prediktorokkal. Ezt AR(\(p\)) modellnek, azaz \(p\) rendű autoregresszív modellnek nevezzük.
Az autoregresszív modellek rendkívül rugalmasan kezelik a különböző idősorok széles skáláját. A 8.5. ábrán látható két sorozat egy AR(1) modellből és egy AR(2) modellből származó sorozatokat mutat. A \(\phi_1,\dots,\phi_p\) paraméterek megváltoztatása különböző idősor-mintákat eredményez. A hibaterm \(\varepsilon_t\) varianciája csak a sorozatok skáláját változtatja meg, a mintázatokat nem.
8.5. ábra: Két példa különböző paraméterű autoregresszív modellekből származó adatokra. Balra: AR(1) \(y_t = 18 -0.8y_{t-1} + \varepsilon_t\). Jobbra: AR(2) \(y_t = 8 + 1,3y_{t-1}-0,7y_{t-2}+\varepsilon_t\). Mindkét esetben \(\varepsilon_t\) normális eloszlású fehér zaj, nulla átlaggal és egy szórással.
AR(1) modell esetén:
- ha \(\phi_1=0\), \(y_t\) egyenértékű a fehér zajjal;
- ha \(\phi_1=1\) és \(c=0\), \(y_t\) egyenértékű a véletlen sétával;
- mikor \(\phi_1=1\) és \(c\ne0\), \(y_t\) egyenértékű egy sodródó véletlen sétával;
- mikor \(\phi_1<0\), \(y_t\) hajlamos az átlag körül oszcillálni.
Az autoregresszív modelleket általában stacionárius adatokra korlátozzuk, ebben az esetben a paraméterek értékeire bizonyos megkötések szükségesek.
- Az AR(1) modell esetében: \(-1 < \phi_1 < 1\).
- AR(2) modell esetén: \(-1 < \phi_2 < 1\), \(\phi_1+\phi_2 < 1\), \(\phi_2-\phi_1 < 1\).
Ha \(p\ge3\), a korlátozások sokkal bonyolultabbak. Az R gondoskodik ezekről a korlátozásokról a modell becslése során.