Fehér zaj | Li Linguas

Fehér zajvektorSzerkesztés

Egy véletlen vektort (azaz egy részben határozatlan folyamatot, amely valós számok vektorait hozza létre) fehér zajvektornak vagy fehér véletlen vektornak nevezünk, ha összetevőinek mindegyike nulla átlagú és véges szórású valószínűségi eloszlással rendelkezik, és statisztikailag független: azaz együttes valószínűségi eloszlásuknak az egyes összetevők eloszlásainak szorzatának kell lennie.

A két változó statisztikai függetlenségének szükséges (de általában nem elégséges) feltétele, hogy statisztikailag korrelálatlanok legyenek, azaz kovarianciájuk nulla legyen. Ezért egy n elemű w fehér zajvektor összetevőinek R kovariancia mátrixának n-szer n diagonális mátrixnak kell lennie, ahol minden Rii diagonális elem a wi komponens varianciája; a korrelációs mátrixnak pedig az n-szer n azonossági mátrixnak kell lennie.

Ha a függetlenség mellett w minden változója nulla átlagú és σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} azonos varianciájú normáleloszlású.

, akkor w-t Gauss-féle fehér zajvektornak mondjuk. Ebben az esetben w együttes eloszlása többváltozós normális eloszlás; a változók közötti függetlenség ekkor azt jelenti, hogy az eloszlás gömbszimmetrikus az n-dimenziós térben. Ezért a vektor bármely ortogonális transzformációja Gauss-féle fehér véletlen vektort eredményez. Különösen a diszkrét Fourier-transzformáció legtöbb típusa, például az FFT és a Hartley-transzformáció esetén w transzformációja W szintén egy Gauss-féle fehér zajvektor lesz; vagyis w n Fourier-koefficiense független Gauss-változók lesznek nulla átlaggal és ugyanolyan σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} varianciával.

A w véletlen vektor P teljesítményspektruma definiálható a W Fourier-transzformáció egyes együtthatóinak négyzetes modulusának várható értékeként, azaz Pi = E(|Wi|2). E definíció szerint egy Gauss-féle fehér zajvektor tökéletesen lapos teljesítményspektrummal rendelkezik, ahol Pi = σ2 minden i-re.

Ha w egy fehér, de nem Gauss-féle véletlen vektor, akkor a Wi Fourier-koefficiensei nem lesznek egymástól teljesen függetlenek; bár nagy n és gyakori valószínűségi eloszlások esetén a függőségek nagyon finomak, és páronkénti korrelációjukat nullának lehet feltételezni.

A fehér zaj definíciójában gyakran a “statisztikailag független” helyett a gyengébb “statisztikailag korrelálatlan” feltételt használják. A fehér zaj néhány általánosan elvárt tulajdonsága (például a lapos teljesítményspektrum) azonban nem feltétlenül érvényes erre a gyengébb változatra. E feltételezés mellett a szigorúbb változatot kifejezetten független fehér zajvektornak nevezhetjük.”:60. o. Más szerzők ehelyett az erősen fehér és a gyengén fehéret használják.

Egy példa egy olyan véletlen vektorra, amely a gyenge értelemben “Gauss-féle fehér zaj”, de nem az erős értelemben: x= ahol x1 egy nulla átlagú normális véletlen változó, és x2 egyenlő +x1 vagy -x1, egyenlő valószínűséggel. Ez a két változó korrelálatlan és külön-külön normális eloszlású, de együttesen nem normális eloszlásúak és nem függetlenek. Ha x-et 45 fokkal elforgatjuk, akkor a két összetevője továbbra is korrelálatlan marad, de eloszlásuk már nem lesz normális.

Egy fehér véletlen vektor w minden egyes összetevőjének nem nulla várható értéke lehet μ {\displaystyle \mu }.

. Különösen a képfeldolgozásban, ahol a minták jellemzően pozitív értékekre korlátozódnak, gyakran μ {\displaystyle \mu }

a maximális mintaérték felének veszi. Ebben az esetben a nullfrekvenciás komponensnek megfelelő W0 Fourier-együttható (lényegében a wi átlaga) szintén nem nulla várható értékű μ n {\displaystyle \mu {\sqrt {n}}}

; és a P teljesítményspektrum csak a nem nulla frekvenciákon lesz lapos.

Diszkrét idejű fehér zajSzerkesztés

A diszkrét idejű sztochasztikus folyamat W {\\displaystyle W}

a véges számú komponensű véletlen vektorok végtelen számú komponensre való általánosítása. Egy diszkrét idejű sztochasztikus folyamat W {\displaystyle W}

fehér zajnak nevezzük, ha az átlaga nem függ az n {\displaystyle n} időtől.

és egyenlő nullával, azaz E ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} ]=0}

és ha az autokorrelációs függvény R W = E W ] {\displaystyle R_{W}=\operátornév {E} W]}

csak n-től függ {\displaystyle n}

de nem függ k-tól {\displaystyle k}

és csak n = 0 esetén nem nulla {\displaystyle n=0}

, azaz R W = σ 2 δ {\displaystyle R_{W}=\sigma ^{2}\delta }

Folyamatos idejű fehér zajSzerkesztés

A “fehér zaj” fogalmának meghatározásához a folytonos idejű jelek elméletében a “véletlen vektor” fogalmát egy folytonos idejű véletlen jellel kell helyettesíteni; azaz egy olyan véletlen folyamatot, amely egy w {\displaystyle w}

egy valós értékű t {\displaystyle t} paraméter {\displaystyle t}

Egy ilyen folyamatot a legerősebb értelemben vett fehér zajnak nevezünk, ha a w ( t ) {\displaystyle w(t)}

bármely t időpontra {\displaystyle t}

olyan véletlen változó, amely statisztikailag független a t előtti teljes előzményétől {\displaystyle t}

. Egy gyengébb definíció csak a w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})} értékek közötti függetlenséget követeli meg.

és w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})} között.

minden egyes t 1 {\displaystyle t_{1}} időpontpáron.

és t 2 {\displaystyle t_{2}}

. Egy még gyengébb definíció csak azt követeli meg, hogy az ilyen párok w ( t 1 ) {\displaystyle w(t_{1})}

és w ( t 2 ) {\displaystyle w(t_{2})}

nem korrelálnak egymással. A diszkrét esethez hasonlóan egyes szerzők a “fehér zaj” gyengébb definícióját fogadják el, és a független minősítést használják az erősebb definíciók bármelyikére utalva. Mások a gyengén fehéret és az erősen fehéret használják a kettő megkülönböztetésére.

Ezeknek a fogalmaknak a pontos meghatározása azonban nem triviális, mivel egyes mennyiségeket, amelyek a véges diszkrét esetben véges összegek, integrálokkal kell helyettesíteni, amelyek nem biztos, hogy konvergálnak. Valójában a w jel összes lehetséges példányának halmaza {\displaystyle w}

már nem véges dimenziós tér R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}}

, hanem egy végtelen dimenziós függvénytér. Sőt, bármely definíció szerint egy fehér zajjel w {\displaystyle w}

lényegében minden ponton diszkontinuusnak kell lennie; ezért még a legegyszerűbb műveletek is a w {\displaystyle w}

, mint például az integrálás véges intervallumon, fejlett matematikai gépezetet igényelnek.

Egyes szerzők minden egyes w ( t ) {\displaystyle w(t)} értéket megkövetelnek.

egy valós értékű véletlen változó legyen μ {\displaystyle \mu } várakozással.

és valamilyen véges szórás σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

. Ekkor a kovariancia E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

a két t 1 {\displaystyle t_{1}} időpontban mért értékek között.

és a t 2 {\displaystyle t_{2}}

között jól definiált: nulla, ha az időpontok különbözőek, és σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}}

, ha egyenlőek. E definíció szerint azonban az integrál W = ∫ a a + r w ( t ) d t {\displaystyle W_{}=\int _{a}^{a+r}w(t)\,dt}

bármely pozitív r szélességű intervallumon {\displaystyle r}

egyszerűen a szélesség szorozva a várakozással: r μ {\displaystyle r\mu }

. Ez a tulajdonság a fogalmat alkalmatlanná tenné a fizikai “fehér zaj” jelek modelljeként.

Ezért a legtöbb szerző a w jelet {\displaystyle w}

közvetve, a w ( t ) {\displaystyle w(t)} integráljainak nem nulla értékeit megadva.

és | w ( t ) | 2 {\displaystyle |w(t)|^{2}}

bármely intervallum felett {\displaystyle }

, annak r szélességének függvényében {\displaystyle r}

. Ebben a megközelítésben azonban a w ( t ) {\displaystyle w(t)}

értéke egy izolált időpontban nem definiálható valós értékű véletlen változóként. Továbbá a kovariancia E ( w ( t 1 ) ⋅ w ( t 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {E} (w(t_{1})\cdot w(t_{2}))}

végtelenné válik, ha t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}}}