A végtelen

Matematikai végtelen

Az ókori görögök a végtelenséget az apeiron szóval fejezték ki, amely a határtalan, meghatározatlan, meghatározatlan és alaktalan jelentéssel bírt. A végtelen egyik legkorábbi megjelenése a matematikában a négyzet átlója és oldala közötti arányra vonatkozik. Püthagorasz (i. e. 580-500 körül) és követői kezdetben úgy vélték, hogy a világ bármely aspektusa kifejezhető egy olyan elrendezéssel, amely csak egész számokat (0, 1, 2, 3, …) tartalmaz, de meglepődve fedezték fel, hogy az átló és a négyzet oldala összehasonlíthatatlan – vagyis a hosszuk nem fejezhető ki bármely közös egység (vagy mértékegység) egész szám többszöröseként. A modern matematikában ezt a felfedezést úgy fejezik ki, hogy azt mondják, hogy az arány irracionális, és hogy ez egy végtelen, nem ismétlődő tizedes sorozat határértéke. Egy olyan négyzet esetében, amelynek oldalai 1 hosszúságúak, az átló a√2 négyzetgyöke, amelyet 1,414213562… alakban írunk, ahol az ellipszis (…) a számjegyek végtelen, minta nélküli sorozatát jelzi.

Mind Platón (i. e. 428/427-348/347), mind Arisztotelész (i. e. 384-322) osztotta a végtelen fogalmának általános görög irtózását. Arisztotelész több mint egy évezredig befolyásolta a későbbi gondolkodást a “tényleges” (térbeli, időbeli vagy számbeli) végtelenség elutasításával, amelyet megkülönböztetett a vég nélküli számolhatóság “potenciális” végtelenségétől. A tényleges végtelenség használatának elkerülésére a cniduszi Eudoxosz (i. e. 400-350 körül) és Arkhimédész (i. e. 285-212/211 körül) kifejlesztett egy technikát, amelyet később a kimerítés módszereként ismertek, és amelynek során egy területet úgy számoltak ki, hogy a mérőegységet egymást követő lépésekben megfelezték, amíg a fennmaradó terület valamilyen rögzített érték alá nem csökkent (a fennmaradó terület “kimerült”).

A végtelenül kis számok problémája vezetett a számtan felfedezéséhez az 1600-as évek végén Isaac Newton angol matematikus és Gottfried Wilhelm Leibniz német matematikus által. Newton bevezette saját elméletét a végtelenül kis számokról, vagyis az infinitesimálisokról, hogy igazolja a deriváltak, vagyis a meredekségek kiszámítását. Ahhoz, hogy egy görbét egy adott pontban (x, y) érintő egyenes meredekségét (vagyis az y változását az x változásához képest) meg lehessen találni, hasznosnak találta, ha a dy és a dx közötti arányt vizsgáljuk, ahol dy az y végtelenül kicsi változása, amelyet az x-től való dx végtelenül kicsi elmozdulás okoz. A végtelen számokat erősen kritizálták, és az analízis korai történetének nagy része a téma alternatív, szigorú alapjának megtalálására irányuló erőfeszítések körül forgott. Az infinitezimális számok használata végül a német származású matematikus, Abraham Robinson által az 1960-as években kidolgozott nem szabványos analízissel nyert szilárd alapot.

A végtelenség közvetlenebb felhasználása a matematikában a végtelen halmazok, például egy egyenes pontjainak halmaza (valós számok) vagy a számlálószámok halmaza méretének összehasonlítására irányuló törekvések során merül fel. A matematikusok hamar ráébrednek arra, hogy a számokkal kapcsolatos hétköznapi intuíciók félrevezetőek, amikor végtelen méretekről beszélünk. A középkori gondolkodók tisztában voltak azzal a paradox ténnyel, hogy a különböző hosszúságú vonalszakaszok látszólag ugyanannyi ponttal rendelkeznek. Rajzoljunk például két koncentrikus kört, az egyik kétszerese a másik sugarának (és így kétszerese a kerületének), ahogy az ábrán látható. Meglepő módon a külső kör minden egyes P pontja párosítható a belső kör egy egyedi P′ pontjával, ha közös középpontjukból, O-ból egy egyenest húzunk P-be, és a belső körrel való metszéspontját P′-vel jelöljük. Az intuíció azt sugallja, hogy a külső körnek kétszer annyi pontnak kellene lennie, mint a belső körnek, de ebben az esetben a végtelen úgy tűnik, hogy a végtelen egyenlő a kétszeres végtelennel. Az 1600-as évek elején az olasz tudós, Galileo Galilei foglalkozott ezzel és egy hasonló, ma már Galilei paradoxonaként ismert nem intuitív eredménnyel. Galilei kimutatta, hogy a számlálószámok halmaza egy az egyben megfeleltethető a számok négyzeteinek látszólag sokkal kisebb halmazával. Hasonlóképpen megmutatta, hogy a számlálószámok és a páros számok halmaza (azaz a páros számok halmaza) párosítható. Galilei arra a következtetésre jutott, hogy “nem beszélhetünk végtelen mennyiségekről úgy, hogy az egyik nagyobb, kisebb vagy egyenlő a másiknál”. Az ilyen példák vezették Richard Dedekind német matematikust 1872-ben arra, hogy a végtelen halmaz definícióját olyan halmazként javasolja, amely valamilyen megfelelő részhalmazzal egy az egyben kapcsolatba hozható.

A végtelen számokkal kapcsolatos zavart Georg Cantor német matematikus oldotta fel 1873-tól. Először Cantor mutatta ki szigorúan, hogy a racionális számok (törtek) halmaza ugyanolyan méretű, mint a megszámlálható számok; ezért megszámlálhatónak vagy megszámlálhatónak nevezi őket. Ez persze nem volt igazán megdöbbentő, de még ugyanabban az évben Cantor bebizonyította azt a meglepő eredményt, hogy nem minden végtelen szám egyenlő. Az úgynevezett “átlós érv” segítségével Cantor megmutatta, hogy a számláló számok mérete szigorúan kisebb, mint a valós számok mérete. Ez az eredmény Cantor-tételként ismert.

A halmazok összehasonlításához Cantor először is különbséget tett egy konkrét halmaz és a halmaz méretének vagy kardinalitásának absztrakt fogalma között. Egy véges halmazzal ellentétben egy végtelen halmaznak lehet ugyanolyan kardinalitása, mint önmagának egy megfelelő részhalmaza. Cantor egy átlós érvvel mutatta ki, hogy bármely halmaz kardinalitásának kisebbnek kell lennie, mint a hozzá tartozó hatványhalmaz kardinalitásának – vagyis annak a halmaznak, amely tartalmazza az adott halmaz összes lehetséges részhalmazát. Általában egy n elemű halmaznak van egy 2n elemű hatványhalmaza, és ez a két kardinalitás még akkor is különbözik, ha n végtelen. Cantor a végtelen halmazainak méreteit “transzfinit kardinálisoknak” nevezte. Érvei megmutatták, hogy végtelenül sok különböző méretű transzfinit kardinális létezik (például a számlálószámok halmazának és a valós számok halmazának kardinálisai).

A transzfinit kardinálisok közé tartozik az alef-null (az egész számok halmazának mérete), az alef-egy (a következő nagyobb végtelen) és a kontinuum (a valós számok mérete). Ezt a három számot ℵ0, ℵ1 és c alakban is írjuk. Definíció szerint ℵ0 kisebb, mint ℵ1, és Cantor tétele szerint ℵ1 kisebb vagy egyenlő c-vel. A Cantor-tétel bizonyítási módszere a választás axiómája néven ismert elvvel együtt biztosítja a transzfinit kardinálisok végtelen sorozatát, amely ℵ1 után olyan számokig folytatódik, mint ℵ2 és ℵℵ0.

A folytonossági probléma az a kérdés, hogy az alefák közül melyik egyenlő a folytonossági kardinálissal. Cantor feltételezte, hogy c = ℵ1; ez Cantor kontinuumhipotéziseként (CH) ismert. A CH-t úgy is felfoghatjuk, hogy azt állítja, hogy az egyenes bármely ponthalmazának vagy megszámlálhatónak kell lennie (mérete kisebb vagy egyenlő ℵ0-val), vagy akkora méretűnek kell lennie, mint a teljes tér (c méretűnek kell lennie).

Az 1900-as évek elején kidolgozták a végtelen halmazok alapos elméletét. Ezt az elméletet ZFC néven ismerik, ami a Zermelo-Fraenkel halmazelméletet jelenti a választás axiómájával. A CH a ZFC axiómái alapján közismerten eldönthetetlen. 1940-ben Kurt Gödel osztrák származású logikusnak sikerült megmutatnia, hogy a ZFC nem tudja megcáfolni a CH-t, 1963-ban pedig Paul Cohen amerikai matematikus mutatta meg, hogy a ZFC nem tudja bizonyítani a CH-t. A CH nem bizonyítható. A halmazelméleti szakemberek továbbra is kutatják, hogyan lehet a ZFC axiómáit ésszerű módon kiterjeszteni úgy, hogy a CH megoldható legyen. A legújabb munkák azt sugallják, hogy a CH hamis lehet, és hogy a c valódi nagysága a nagyobb végtelen ℵ2.