Wie lautet die größte Zahl der Welt?

Wenn du in einer Mathe-Stunde schon einmal gefragt hast, was die größte Zahl ist, ist es sehr wahrscheinlich, dass ein kluger Kopf eine Antwort gegeben hat, die in etwa so lautet: „Das ist einfach! Das ist natürlich die Unendlichkeit!“

Das einzige Problem mit der Unendlichkeit ist, dass sie keine Zahl im eigentlichen Sinne ist, wie das folgende Gespräch zwischen zwei klugen Köpfen zeigt.

Kluger Kopf eins: „Unendlich ist die größte Zahl der Welt, das ist einfach!“

Funke zwei: „Nun, ich habe eine größere Zahl für dich – Unendlich plus eins!“

Funke eins wieder: „Ich habe eine Zahl, die deine übertrifft – unendlich plus eins, mal eine Million!“

Das Gespräch geht so weiter, bis keiner der beiden hellen Funken die größte Zahl der Welt gefunden hat.

Nach kurzer Zeit haben die beiden hellen Funken erkannt, dass die Unendlichkeit eigentlich gar keine Zahl ist, sondern eher ein Konzept. Was den beiden hellen Funken noch niemand gesagt hat, ist die schockierende Vorstellung, dass es verschiedene Größen der Unendlichkeit gibt! Wie berechnet man also die größte Zahl?

Die Unendlichkeit der zählenden Zahlen

Die einfachste Art, eine unendlich große Zahlenmenge zu erzeugen, ist das Hochzählen in ganzen Zahlen. Diese Zahlenmenge wird als natürliche Zahlen bezeichnet und ist offensichtlich unendlich groß, da man ewig weiterzählen kann. Das Symbol wird zur Kennzeichnung dieser Menge verwendet und steht für „natürliche Zahlen“.

Betrachten wir nun eine andere Zahlenmenge und nennen diese Menge (unsere eigene Bezeichnung):

Die Menge ist ebenfalls unendlich groß, scheint aber eine Zahl weniger zu enthalten als . Sind sie gleich groß?

Wir können zeigen, dass und tatsächlich gleich groß sind, indem wir zeigen, dass es eine 1:1-Entsprechung zwischen den Elementen von und den Elementen von gibt.

…

Bis jetzt hätten wir gesagt, dass die Größe von einfach die Unendlichkeit ist, die auf ihrer Seite wie eine Acht geschrieben wird:.

Jedoch werden wir gleich herausfinden, dass es verschiedene Größen der Unendlichkeit gibt, und so bezeichnen wir die Größe von als , was als ‚aleph zero‘ ausgesprochen wird. ist die kleinste Größe der Unendlichkeit, und unsere Menge hat auch die Größe .

Andere Mengen, die die Größe

haben

Es gibt viele andere Zahlenmengen, die die unendliche Größe haben. Dazu gehören die Menge der positiven geraden ganzen Zahlen und die so genannte Menge der rationalen Zahlen. Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Brüche geschrieben werden können. Wenn eine Zahlenmenge den Umfang hat, nennt man sie abzählbar.

Wir können alle möglichen Brüche in einer Tabelle wie der folgenden aufschreiben. Gleichwertige Brüche können mehrmals vorkommen, zum Beispiel , aber wir können alle Wiederholungen leicht aus der Tabelle entfernen. Anschließend können wir ein diagonales Muster einzeichnen, das es uns ermöglicht, unsere Brüche in eine Liste einzutragen. Wir haben nun eine übersichtliche Liste von Brüchen …

Wenn wir eine Liste von Brüchen haben, können sie gezählt werden und die rationalen Zahlen sind daher abzählbar.

Wie findet man eine Größe der Unendlichkeit, die größer ist als?

Nicht jede Zahl kann als Bruch geschrieben werden. Zahlen, die nicht als Brüche geschrieben werden können, nennt man irrationale Zahlen. Bekannte Beispiele sind und Quersummen wie und .

Die dezimalen Erweiterungen von irrationalen Zahlen wie (3,1415926535…) gehen ewig weiter, und diese Zahlen können niemals als Brüche geschrieben werden, auch wenn man gerne als Näherung für verwendet.

Betrachten wir nun die Menge aller Zahlen, die zwischen 0 und 1 liegen. Zu dieser Menge gehören sowohl rationale Zahlen wie als auch irrationale Zahlen wie Diese Zahlenmenge ist offensichtlich unendlich groß, da wir uns immer mehr Zahlen vorstellen können, die im Intervall (0,1) enthalten sind.

Im Jahr 1873 erfand ein deutscher Mathematiker namens Georg Cantor einen sehr cleveren Beweis dafür, dass die Menge aller reellen Zahlen im Intervall (0,1) eine Größe hat, die eine größere Unendlichkeit ist als die Größe der Menge der natürlichen Zahlen .

Zusammenfassung von Cantors berühmtem Diagonalargument.

Setzen wir einmal voraus, dass die Größe der Menge aller reellen Zahlen im Intervall (0,1) dieselbe Größe wie ist. Wir könnten dann eine Liste erstellen, die versucht, durch die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 zu zählen. Sie könnte etwa so aussehen, wenn wir nicht sehr logisch vorgehen:

Cantors wirklich cleverer nächster Schritt war, eine neue Zahl zu konstruieren, die nicht auf der Liste steht. Cantors Argument funktioniert entweder, wenn wir eine Liste wie die obige verwenden, oder sogar, wenn wir mühsam versuchen, eine logische Liste zu erstellen, die versucht, jede Zahl zwischen 0 und 1 zu erfassen:

Cantors cleverer Weg, eine Zahl zu wählen, die nicht auf der Liste steht.

Diese neue Zahl steht eindeutig nicht auf der Liste und Cantor hatte einen Widerspruch gefunden – Cantor zeigte, dass man niemals eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen im Intervall (0,1) herstellen kann. Cantor hatte bewiesen, dass der Umfang der reellen Zahlen größer ist als der Umfang der natürlichen Zahlen! Die reellen Zahlen sind nicht abzählbar! Es gibt verschiedene Größen der Unendlichkeit!

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Antwort auf die Frage, was die größte Zahl der Welt ist, nicht einfach ist. Kurz gesagt: Es gibt keine größte Zahl, man kann ewig weiterzählen. Aber man kann auch zwei Gruppen von Zahlen finden, die beide unendlich groß sind, aber auch unterschiedlich groß. Es ist wirklich unglaublich, darüber nachzudenken!

Größte Zahl: Weiterführende Literatur

Dieser Artikel hat nur an der Oberfläche dieses faszinierenden und verblüffenden Themas gekratzt. Wenn Sie weiter lesen wollen, versuchen Sie „Die Kontinuumshypothese“ im Plus Magazine. Wenn Sie sich für ein Mathematikstudium entscheiden, werden Sie die Möglichkeit haben, die so genannte Mengenlehre zu studieren, die die in diesem Artikel behandelten Themen ausführlicher behandelt.

Artikel von Hazel Lewis