Logarithmen negativer Zahlen sind in den reellen Zahlen nicht definiert, so wie auch Quadratwurzeln negativer Zahlen in den reellen Zahlen nicht definiert sind. Wenn man den Logarithmus einer negativen Zahl finden soll, ist die Antwort „undefiniert“ in den meisten Fällen ausreichend.
Es ist möglich, einen Logarithmus zu berechnen, aber die Antwort wird eine komplexe Zahl sein. (eine Zahl der Form #a + bi#, wobei #i = sqrt(-1)#)
Wenn Sie mit komplexen Zahlen vertraut sind und sich im Umgang mit ihnen wohlfühlen, dann lesen Sie weiter.
Fangen wir zunächst mit einem allgemeinen Fall an:
#log_b (-x) = ?#
Wir werden die Basisänderungsregel anwenden und in natürliche Logarithmen umwandeln, um die Dinge später zu vereinfachen:
#log_b(-x) = ln(-x)/lnb#
Beachte, dass #ln(-x)# dasselbe ist wie #ln(-1 * x)#. Wir können die Additionseigenschaft von Logarithmen ausnutzen und diesen Teil in zwei separate Logarithmen aufteilen:
#log_b(-x) = (lnx + ln(-1))/lnb#
Das einzige Problem ist nun herauszufinden, was #ln(-1)# ist. Es mag auf den ersten Blick unmöglich erscheinen, das auszuwerten, aber es gibt eine ziemlich berühmte Gleichung, die als Eulersche Identität bekannt ist und uns helfen kann.
Die Eulersche Identität besagt:
#e^(ipi) = -1#
Dieses Ergebnis stammt aus Potenzreihenentwicklungen von Sinus und Kosinus. (Ich werde das nicht zu ausführlich erklären, aber wenn es dich interessiert, gibt es hier eine schöne Seite, die ein bisschen mehr erklärt)
Fürs Erste nehmen wir einfach den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten der Eulerschen Identität:
#ln e^(ipi) = ln(-1)#
Vereinfacht:
#ipi = ln(-1)#
Da wir nun wissen, was #ln(-1)# ist, können wir es wieder in unsere Gleichung einsetzen:
#log_b(-x) = (lnx + ipi)/lnb#
Jetzt haben wir eine Formel, um Logarithmen von negativen Zahlen zu finden. Wenn wir also etwas wie #log_2 10# auswerten wollen, können wir einfach ein paar Werte einsetzen:
#log_2(-10) = (ln10 + ipi)/ln2#
#ca. 3,3219 + 4,5324i#